f'(x) の符号を調べることで関数の増減・極値・グラフの形状がわかります。
増減表
- f'(x) > 0 の区間：f(x) は増加
- f'(x) < 0 の区間：f(x) は減少
- f'(x) = 0 の点：極値の候補
f'(a) = 0 で、前後の符号が + → − なら 極大、− → + なら 極小。
例題1
f(x) = x³ − 3x の増減表を作り、極値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1)。
f'(x) = 0 → x = ±1
増減表：
x：… −1 … 1 …
f'：… + 0 − 0 +
f：↗ 極大2 ↘ 極小−2 ↗
極大 f(−1) = 2、極小 f(1) = −2
f(x) = x³ − 3x の増減表を作り、極値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1)。
f'(x) = 0 → x = ±1
増減表：
x：… −1 … 1 …
f'：… + 0 − 0 +
f：↗ 極大2 ↘ 極小−2 ↗
極大 f(−1) = 2、極小 f(1) = −2
ポイント
- f'(x) を因数分解して符号を調べる
- 増減表は必須（符号の変化を明示）
- f'(a) = 0 でも極値でない場合がある（f'(x) = x³ の x=0 など）
練習問題
- f(x) = x³ − 6x² + 9x の増減表を作り、極値を求めなさい。
- f(x) = −x³ + 3x² の極大値・極小値を求めなさい。
- f(x) = x⁴ − 2x² の極値を求めなさい。
解答・解説
- 解答：f'(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)。極大f(1)=4、極小f(3)=0
解説：x=1で+→−（極大）、x=3で−→+（極小）。 - 解答：極大 f(2)=4、極小 f(0)=0
解説：f'=−3x²+6x=−3x(x−2)。x=0で−→+（極小）、x=2で+→−（極大）。 - 解答：x=±1で極小 f(±1)=−1、x=0で極大 f(0)=0
解説：f'=4x³−4x=4x(x²−1)=4x(x+1)(x−1)。符号変化を確認。