微分の定義・公式・接線・増減を総合します。
例題1（最大・最小）
0 ≤ x ≤ 4 における f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 の最大値・最小値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3(x−1)(x−3)。極大 f(1) = 5、極小 f(3) = 1。
端点：f(0) = 1、f(4) = 5。最大値 5（x=1,4）、最小値 1（x=0,3）
0 ≤ x ≤ 4 における f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 の最大値・最小値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3(x−1)(x−3)。極大 f(1) = 5、極小 f(3) = 1。
端点：f(0) = 1、f(4) = 5。最大値 5（x=1,4）、最小値 1（x=0,3）
例題2
f(x) = ax³ + bx が x = 1 で極値 −2 をとるとき a, b を求めなさい。
解答：f'(x) = 3ax² + b。f'(1) = 0 → 3a + b = 0。f(1) = a + b = −2。
連立：3a + b = 0、a + b = −2 → 2a = 2 → a = 1、b = −3。
f(x) = ax³ + bx が x = 1 で極値 −2 をとるとき a, b を求めなさい。
解答：f'(x) = 3ax² + b。f'(1) = 0 → 3a + b = 0。f(1) = a + b = −2。
連立：3a + b = 0、a + b = −2 → 2a = 2 → a = 1、b = −3。
まとめ
- 導関数定義：lim(f(x+h)−f(x))/h
- 基本公式：(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
- 接線：y−f(a) = f'(a)(x−a)
- 閉区間の最大・最小：極値と端点の値を比較
練習問題
- −1 ≤ x ≤ 3 における f(x) = −x³ + 3x² + 1 の最大値・最小値を求めなさい。
- y = x³ − 3x + 1 の極大値・極小値を求め、グラフの概形を説明しなさい。
- f(x) = x³ + ax + b が x = 2 で極値 −5 をとるとき a, b を求めなさい。
解答・解説
- 解答：f'=−3x²+6x=−3x(x−2)。極大f(2)=5、極小f(0)=1。端点f(−1)=−3、f(3)=1。最大値5（x=2）、最小値−3（x=−1）
解説：閉区間内の極値と端点を全比較。 - 解答：f'=3x²−3=3(x+1)(x−1)。極大f(−1)=3、極小f(1)=−1
解説：x=−1で山、x=1で谷のグラフ。x→±∞でy→±∞。 - 解答：a = −12、b = 11
解説：f'=3x²+a。f'(2)=12+a=0→a=−12。f(2)=8+2a+b=8−24+b=−5→b=11。