不定積分の応用
不定積分を使った逆微分問題・速度と位置の関係など応用を学びます。
📘 例題①（速度と位置）
t = 0 で位置 x = 2、速度 v = 0 の物体の加速度が a(t) = 6t − 2 のとき、位置 x(t) を求めなさい。
解答：v(t) = ∫(6t−2)dt = 3t²−2t+C₁。v(0) = 0 → C₁ = 0。
x(t) = ∫(3t²−2t)dt = t³−t²+C₂。x(0) = 2 → C₂ = 2。
x(t) = t³ − t² + 2
t = 0 で位置 x = 2、速度 v = 0 の物体の加速度が a(t) = 6t − 2 のとき、位置 x(t) を求めなさい。
解答：v(t) = ∫(6t−2)dt = 3t²−2t+C₁。v(0) = 0 → C₁ = 0。
x(t) = ∫(3t²−2t)dt = t³−t²+C₂。x(0) = 2 → C₂ = 2。
x(t) = t³ − t² + 2
📘 例題②
∫(f'(x) − 3x)dx = f(x) + 2x² − 5 を満たす f(x) を求めなさい（f(0) = 3）。
解答：左辺 = f(x) − 3x²/2 + C。右辺と比較：C = 2x² − 3x²/2...
整理：f(x) − 3x²/2 + C = f(x) + 2x² − 5 → −3x²/2 + C = 2x² − 5。
定数項：C = −5、x² の係数：−3/2 = 2（矛盾） → 問題の整合性に注意。
基本的な初期値問題の形：f'(x) = 6x − 2、f(0) = 3 → f(x) = 3x² − 2x + 3。
∫(f'(x) − 3x)dx = f(x) + 2x² − 5 を満たす f(x) を求めなさい（f(0) = 3）。
解答：左辺 = f(x) − 3x²/2 + C。右辺と比較：C = 2x² − 3x²/2...
整理：f(x) − 3x²/2 + C = f(x) + 2x² − 5 → −3x²/2 + C = 2x² − 5。
定数項：C = −5、x² の係数：−3/2 = 2（矛盾） → 問題の整合性に注意。
基本的な初期値問題の形：f'(x) = 6x − 2、f(0) = 3 → f(x) = 3x² − 2x + 3。
💡 ポイント
- v(t) = ∫a(t)dt で速度、x(t) = ∫v(t)dt で位置
- 積分定数は初期条件から決定する
- 逐次積分：加速度→速度→位置
練習問題
- f''(x) = 6x − 2、f'(0) = 1、f(0) = −1 のとき f(x) を求めなさい。
- ∫f(x)dx を F(x)+C と書くとき、F(x) を「原始関数」という。y = (x+3)² の原始関数を1つ答えなさい。
- t=0 で位置0・速度3の物体が加速度 a(t)=−2 のとき、t=3 での位置を求めなさい。
解答・解説
- 解答：f(x) = x³ − x² + x − 1
解説：f'(x)=∫(6x−2)dx=3x²−2x+C₁。f'(0)=1→C₁=1。f(x)=∫(3x²−2x+1)dx=x³−x²+x+C₂。f(0)=C₂=−1。 - 解答：(x+3)³/3（+任意の定数 C を加えてよい）
解説：∫(x+3)²dx=(x+3)³/3+C。 - 解答：位置 x(3) = 0
解説：v(t)=∫(−2)dt=−2t+3（v(0)=3）。x(t)=∫(−2t+3)dt=−t²+3t（x(0)=0）。x(3)=−9+9=0。