不定積分 まとめと演習
不定積分・置換積分・部分積分の総合演習です。
📘 例題①
∫(x+1)√x dx を計算しなさい。
解答：x^(1/2) との積。∫(x^(3/2)+x^(1/2))dx = (2/5)x^(5/2) + (2/3)x^(3/2) + C = (2/5)x²√x + (2/3)x√x + C
∫(x+1)√x dx を計算しなさい。
解答：x^(1/2) との積。∫(x^(3/2)+x^(1/2))dx = (2/5)x^(5/2) + (2/3)x^(3/2) + C = (2/5)x²√x + (2/3)x√x + C
📘 例題②
∫(2x−1)/(x²−x+1)² dx の方針を示しなさい。
解答：u = x²−x+1 とおくと du = (2x−1)dx。
∫u⁻² du = −u⁻¹ + C = −1/(x²−x+1) + C
∫(2x−1)/(x²−x+1)² dx の方針を示しなさい。
解答：u = x²−x+1 とおくと du = (2x−1)dx。
∫u⁻² du = −u⁻¹ + C = −1/(x²−x+1) + C
💡 まとめ
- 基本：∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C
- 置換：u=g(x) で du=g'(x)dx に変換
- 部分積分：∫uv' = uv−∫u'v
- 初期値から積分定数を決定
練習問題
- ∫x/√(1+x²) dx を計算しなさい。
- ∫(x²+2x)(x+1) dx を部分積分または展開で計算しなさい。
- f'(x) = (2x+1)², f(0) = 1 を満たす f(x) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：√(1+x²) + C
解説：u=1+x²、du=2xdx。∫(1/2)u^(−1/2)du=u^(1/2)+C=√(1+x²)+C。 - 解答：x⁴/4+x³+x²+C（展開：(x²+2x)(x+1)=x³+3x²+2x。積分：x⁴/4+x³+x²+C）
解説：展開してから積分。 - 解答：f(x) = (2x+1)³/6 + 5/6
解説：∫(2x+1)²dx=(2x+1)³/6+C。f(0)=1/6+C=1→C=5/6。