素数（そすう）とは、約数が「1」と「その数じたい」の2つだけしかない整数のことです。
そして、ある整数を素数だけのかけ算の形に分けることを素因数分解（そいんすうぶんかい）といいます。
これから学ぶこと
素数は小さい順に、2、3、5、7、11、13、17、19、23、… と続いていきます。
※ 1は素数にはふくみません。
素因数分解をするときは、小さい素数（まず2、つぎに3、5、7…）から順にわっていくのがコツです。
例題
120を素因数分解しましょう。そのあと、約数がいくつあるか数えましょう。
解き方：
①小さい素数から順にわっていきます。
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
②わった素数をぜんぶかけ算の形で書きます。
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ＝ 2³ × 3 × 5
③約数の個数は、「右上の数」にそれぞれ1を足してかけ算します。
(3+1) × (1+1) × (1+1) = 4×2×2 = 16個
120を素因数分解しましょう。そのあと、約数がいくつあるか数えましょう。
解き方：
①小さい素数から順にわっていきます。
120 ÷ 2 = 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
②わった素数をぜんぶかけ算の形で書きます。
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ＝ 2³ × 3 × 5
③約数の個数は、「右上の数」にそれぞれ1を足してかけ算します。
(3+1) × (1+1) × (1+1) = 4×2×2 = 16個
ポイント
覚えよう
- 素因数分解は、小さい素数（2、3、5、7…）から順にわっていきます。
- 約数の個数は「右上の数＋1」をぜんぶかけ算すれば求められます。
- 素因数分解を使うと、最大公約数や最小公倍数もすぐにわかります。
練習問題
- 84を素因数分解しましょう。
- 180の約数は全部で何個あるか求めましょう。
- 2³×3²×5 と 2²×3×7 の、最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
解答・解説
- 解答：84 = 2² × 3 × 7
解説：84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1。よって 84 = 2² × 3 × 7。 - 解答：18個
解説：まず素因数分解：180 = 4 × 45 = 2² × 3² × 5。約数の個数 = (2+1) × (2+1) × (1+1) = 3×3×2 = 18個。 - 解答：最大公約数 = 2² × 3 = 12、最小公倍数 = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520
解説：最大公約数は各素因数の指数の小さい方をとる：2^min(3,2) × 3^min(2,1) × 5^min(1,0) × 7^min(0,1) = 2² × 3 = 12。最小公倍数は各素因数の指数の大きい方をとる：2³ × 3² × 5 × 7 = 8×9×5×7 = 2520。