単項式と多項式⑤ いろいろな多項式の計算
多項式の加法・減法、数との乗除を組み合わせた計算を行います。最後に分数の形を含む式の計算もまとめて整理しましょう。
かっこをふくむ多項式の計算
計算手順は、
① 分配法則でかっこを外す
② 同類項をまとめる
の順で進めます。
📘 例題①
次を計算しなさい：3(2x² + x − 4) − 2(x² − 3x + 1)
解答：分配 → 6x² + 3x − 12 − 2x² + 6x − 2。
x²：6 − 2 = 4 → 4x²。x：3 + 6 = 9 → 9x。定数：−12 − 2 = −14。
よって 4x² + 9x − 14。
次を計算しなさい：3(2x² + x − 4) − 2(x² − 3x + 1)
解答：分配 → 6x² + 3x − 12 − 2x² + 6x − 2。
x²：6 − 2 = 4 → 4x²。x：3 + 6 = 9 → 9x。定数：−12 − 2 = −14。
よって 4x² + 9x − 14。
分数の形の多項式
分数の形が混じった式は、通分して1つの分数にまとめる か、各項を分配して計算します。
📘 例題②
次を計算しなさい：(3x + 2)/4 + (x − 6)/2
解答：分母を 4 にそろえる：(x − 6)/2 ＝ 2(x − 6)/4 ＝ (2x − 12)/4。
たすと：{(3x + 2) + (2x − 12)}/4 ＝ (5x − 10)/4。
よって (5x − 10)/4。
次を計算しなさい：(3x + 2)/4 + (x − 6)/2
解答：分母を 4 にそろえる：(x − 6)/2 ＝ 2(x − 6)/4 ＝ (2x − 12)/4。
たすと：{(3x + 2) + (2x − 12)}/4 ＝ (5x − 10)/4。
よって (5x − 10)/4。
文字式の利用（数の性質）
文字式は「○○はいつでも○○である」という数の性質を証明するのに役立ちます。
例：「2つの偶数の和は偶数である」
2つの偶数を 2m、2n（m、n は整数）とおく → 和は 2m + 2n = 2(m + n)。
m + n は整数なので、2(m + n) は 偶数。
📘 例題③
連続する2つの整数の和は奇数になることを説明しなさい。
解答：連続する2つの整数を n、n + 1（n は整数）とおく。
和は n + (n + 1) ＝ 2n + 1。
2n + 1 は奇数の形なので、連続する2つの整数の和は奇数。
連続する2つの整数の和は奇数になることを説明しなさい。
解答：連続する2つの整数を n、n + 1（n は整数）とおく。
和は n + (n + 1) ＝ 2n + 1。
2n + 1 は奇数の形なので、連続する2つの整数の和は奇数。
💡 ポイント
- かっこ → 分配法則 → 同類項のまとめ、の順で計算する
- 分数の形は通分して1つにまとめると、見通しがよい
- 偶数：2n、奇数：2n+1、連続整数：n、n+1、n+2 などと文字でおく
- 「○○の形になる」と整理して結論をはっきり書くのが説明のコツ
練習問題
- 次を計算しなさい：2(3a − b) − 3(a + 2b)
- 次を計算しなさい：(2x + 3)/3 + (x − 4)/6
- 連続する3つの整数の和は3の倍数になることを文字式で説明しなさい。
解答・解説
- 解答：3a − 8b
解説：分配 → 6a − 2b − 3a − 6b。a：6−3=3 → 3a。b：−2−6=−8 → −8b。 - 解答：(5x + 2)/6
解説：分母を6にそろえる：(2x+3)/3 = (4x+6)/6。たすと (4x+6+x−4)/6 = (5x+2)/6。 - 解答：連続する3つの整数を n、n+1、n+2 とおく。和は n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)。n+1 は整数なので 3(n+1) は3の倍数。
解説：3×(整数) の形で表せれば3の倍数。共通因数3でくくるのがポイント。