二等辺三角形⑤ 角の二等分線と垂直二等分線の性質
角の二等分線上の点と、垂直二等分線上の点にはそれぞれ重要な性質があります。
角の二等分線上の点
角の二等分線上の点から、角をなす2辺までの距離は等しい。
垂直二等分線上の点
線分の垂直二等分線上の点から、線分の両端までの距離は等しい。
📘 例題①
点 P が線分 AB の垂直二等分線上にあるとき、PA=PB を証明しなさい。
解答：M を AB の中点、PM⊥AB とする。△PAM と △PBM において / AM=BM（M は中点）① / ∠PMA=∠PMB=90°② / PM=PM（共通）③ / SAS より △PAM≅△PBM。よって PA=PB。
点 P が線分 AB の垂直二等分線上にあるとき、PA=PB を証明しなさい。
解答：M を AB の中点、PM⊥AB とする。△PAM と △PBM において / AM=BM（M は中点）① / ∠PMA=∠PMB=90°② / PM=PM（共通）③ / SAS より △PAM≅△PBM。よって PA=PB。
💡 ポイント
- 垂直二等分線上 ↔ 両端から等距離
- 角の二等分線上 ↔ 両辺から等距離
- これらの性質は証明でよく使われる
練習問題
- △ABC で AB=AC のとき、BC の垂直二等分線は頂点 A を通ることを示しなさい。
解答・解説
- 解答：AB=AC より A は B, C から等距離。垂直二等分線の性質の逆より、A は BC の垂直二等分線上にある。