方程式の利用④ 割合・濃度の問題
方程式で 割合・割引き・食塩水の濃度 などの問題を扱います。「○％」「○割引き」を数式に直すのに少し慣れが必要ですが、決まった型に乗せれば解けます。
割合の表現
- x % は x/100。たとえば 30% = 30/100 = 0.3
- x 割は x/10。たとえば 2 割 = 2/10 = 0.2
- a の x% は a × x/100 ＝ ax/100
- a を x% 増やすと a × (1 + x/100)。例：a の 20% 増 ＝ 1.2a
- a を x% 減らすと a × (1 − x/100)。例：a の 20% 引き ＝ 0.8a
📘 例題①
ある品物の定価の 2 割引きで買ったところ、代金が 1200 円でした。定価を求めなさい。
解答：
定価を x 円とおくと、2 割引きの代金 = 0.8x 円。
等式：0.8x = 1200 → x = 1500。
定価は 1500 円。
ある品物の定価の 2 割引きで買ったところ、代金が 1200 円でした。定価を求めなさい。
解答：
定価を x 円とおくと、2 割引きの代金 = 0.8x 円。
等式：0.8x = 1200 → x = 1500。
定価は 1500 円。
増減の問題
「去年より○％増えた」「人数が○％減った」というタイプ。
・今年 ＝ 去年 × (1 ＋ 変化率)（増えた場合）
・今年 ＝ 去年 × (1 − 変化率)（減った場合）
📘 例題②
あるクラスの生徒数は、男子が女子より 5 人多く、合計で 35 人です。男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。
解答：
女子の人数を x 人とすると、男子は (x + 5) 人。
等式：x + (x + 5) = 35 → 2x = 30 → x = 15。
女子 15 人、男子 20 人。
あるクラスの生徒数は、男子が女子より 5 人多く、合計で 35 人です。男子と女子の人数をそれぞれ求めなさい。
解答：
女子の人数を x 人とすると、男子は (x + 5) 人。
等式：x + (x + 5) = 35 → 2x = 30 → x = 15。
女子 15 人、男子 20 人。
食塩水の濃度
食塩水の問題でも方程式を使います。
食塩の重さ ＝ 食塩水の重さ × 濃度 / 100
「混ぜる前後で食塩の重さの合計は変わらない」というのが大事な等式のもとになります。
📘 例題③
5 % の食塩水 200 g に水を加えて 4 % の食塩水にしたい。水を何 g 加えればよいですか。
解答：
水を x g 加えるとする。
食塩の重さ：もとの食塩水中 = 200 × 5/100 = 10 g（水を加えても食塩の量は変わらない）
加えた後の食塩水：(200 + x) g、濃度 4 %
等式：(200 + x) × 4/100 = 10
4(200 + x) = 1000 → 800 + 4x = 1000 → 4x = 200 → x = 50（g）
5 % の食塩水 200 g に水を加えて 4 % の食塩水にしたい。水を何 g 加えればよいですか。
解答：
水を x g 加えるとする。
食塩の重さ：もとの食塩水中 = 200 × 5/100 = 10 g（水を加えても食塩の量は変わらない）
加えた後の食塩水：(200 + x) g、濃度 4 %
等式：(200 + x) × 4/100 = 10
4(200 + x) = 1000 → 800 + 4x = 1000 → 4x = 200 → x = 50（g）
💡 ポイント
- ○％ = ○/100、○割 = ○/10 に直す
- ○％増 = ×(1+○/100)、○％減 = ×(1−○/100)
- 食塩の重さ = 食塩水の重さ × 濃度/100
- 混ぜる前後で「食塩の重さ」は変わらない（水だけ加えるとき）
練習問題
- 定価 2500 円の商品を x 円値引きしたところ、売値が 2000 円でした。値引き額 x を求めなさい。
- ある中学校の今年の生徒数は 462 人で、これは去年より 5% 増えた人数です。去年の生徒数を求めなさい。
- 8 % の食塩水 300 g に、何 g の水を加えれば 6 % の食塩水になりますか。
解答・解説
- 解答：500 円
解説：2500 − x = 2000 → x = 500。 - 解答：440 人
解説：去年を x 人とすると、x × 1.05 = 462 → x = 462 ÷ 1.05 = 440。 - 解答：100 g
解説：食塩 = 300×8/100 = 24 g。(300+x)×6/100 = 24 → 6(300+x) = 2400 → 300+x = 400 → x = 100。