方程式の利用⑤ 整数・年齢などの応用
方程式の利用の最終回。整数の性質を使った問題 や 年齢の問題、連続する整数 といった応用問題を扱います。条件を読み取って、自分で文字を設定する力を養いましょう。
連続する整数の問題
連続する整数を文字で表すコツ：
・連続する3つの整数：x、x+1、x+2（または x−1、x、x+1）
・連続する3つの偶数：x、x+2、x+4（または x−2、x、x+2）
・連続する3つの奇数：x、x+2、x+4（奇数も差が2）
📘 例題①
連続する3つの整数の和が 78 です。この 3 つの整数を求めなさい。
解答：
真ん中を x とすると、3つは x−1、x、x+1。
等式：(x−1) + x + (x+1) = 78 → 3x = 78 → x = 26。
3 つの整数は 25、26、27。
連続する3つの整数の和が 78 です。この 3 つの整数を求めなさい。
解答：
真ん中を x とすると、3つは x−1、x、x+1。
等式：(x−1) + x + (x+1) = 78 → 3x = 78 → x = 26。
3 つの整数は 25、26、27。
年齢の問題
年齢の問題のポイント：
・年齢差は変わらない（みんな同じだけ歳をとる）
・「○年後」は全員に＋○、「○年前」は全員に−○
📘 例題②
現在、父は 40 歳、子は 12 歳です。父の年齢が子の年齢の 3 倍になるのは何年後ですか。
解答：
x 年後に父が子の 3 倍になるとすると、
父の年齢 ＝ 40 + x、子の年齢 ＝ 12 + x。
等式：40 + x ＝ 3(12 + x)
40 + x = 36 + 3x → −2x = −4 → x = 2。
2 年後。
現在、父は 40 歳、子は 12 歳です。父の年齢が子の年齢の 3 倍になるのは何年後ですか。
解答：
x 年後に父が子の 3 倍になるとすると、
父の年齢 ＝ 40 + x、子の年齢 ＝ 12 + x。
等式：40 + x ＝ 3(12 + x)
40 + x = 36 + 3x → −2x = −4 → x = 2。
2 年後。
2桁の整数の問題
十の位が a、一の位が b の 2 桁の整数は、10a + b と表せます。
例：73 = 10×7 + 3。
位を入れかえた数は 10b + a。
例：73 を入れかえると 37 = 10×3 + 7。
📘 例題③
ある 2 桁の整数があります。十の位は 4 で、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より 27 大きい。もとの整数を求めなさい。
解答：
一の位を x とすると、もとの数 = 40 + x、入れかえた数 = 10x + 4。
等式：10x + 4 ＝ (40 + x) + 27 → 10x + 4 = 67 + x → 9x = 63 → x = 7。
もとの整数は 47。
ある 2 桁の整数があります。十の位は 4 で、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数は、もとの数より 27 大きい。もとの整数を求めなさい。
解答：
一の位を x とすると、もとの数 = 40 + x、入れかえた数 = 10x + 4。
等式：10x + 4 ＝ (40 + x) + 27 → 10x + 4 = 67 + x → 9x = 63 → x = 7。
もとの整数は 47。
💡 ポイント
- 連続整数：x、x+1、x+2（真ん中を x とすると x−1, x, x+1）
- 連続偶数・奇数：x、x+2、x+4（差は2）
- 年齢の問題：年齢差は変わらない。○年後は全員に＋○
- 2桁の整数：十の位 a、一の位 b → 10a + b
練習問題
- 連続する 3 つの偶数の和が 66 です。3 つの偶数を求めなさい。
- 現在、母は 36 歳、子は 8 歳です。母の年齢が子の年齢の 3 倍になるのは何年後ですか。
- ある 2 桁の整数は、十の位と一の位の数の和が 9 で、十の位と一の位を入れかえた数は、もとの数より 9 大きい。もとの整数を求めなさい。
解答・解説
- 解答：20、22、24
解説：真ん中を x。(x−2)+x+(x+2) = 66 → 3x = 66 → x = 22。よって 20, 22, 24。 - 解答：6 年後
解説：x 年後に 36+x = 3(8+x) → 36+x = 24+3x → 12 = 2x → x = 6。 - 解答：45
解説：十の位 a、一の位 9−a。もと = 10a + (9−a) = 9a+9。入れかえ = 10(9−a)+a = 90−9a。等式：90−9a = (9a+9)+9 → 90−9a = 9a+18 → 72 = 18a → a = 4。よって 45。