作図⑤ いろいろな作図の応用
これまでに学んだ 垂直二等分線・垂線・角の二等分線・接線 の作図を組み合わせると、いろいろな図形が作図できます。代表的な応用例を見ていきましょう。
三角形の外心（外接円の中心）
三角形の3辺それぞれの 垂直二等分線 は、必ず1点で交わります。この点を 外心 といい、外心を中心として三角形の3頂点を通る円（外接円）が描けます。
外心の位置：外心はその三角形の3頂点から等距離。
三角形の内心（内接円の中心）
三角形の3つの内角それぞれの 角の二等分線 は、必ず1点で交わります。この点を 内心 といい、内心を中心として三角形の3辺すべてに接する円（内接円）が描けます。
内心の位置：内心はその三角形の3辺から等距離。
📘 例題①
三角形 ABC の外接円を作図する手順を答えなさい。
解答：
① 辺 AB の垂直二等分線を作図する
② 辺 BC の垂直二等分線を作図する
③ ①と②の交点 O が外心（外接円の中心）
④ O から A（または B、C）までの距離を半径とする円をかく → 外接円
三角形 ABC の外接円を作図する手順を答えなさい。
解答：
① 辺 AB の垂直二等分線を作図する
② 辺 BC の垂直二等分線を作図する
③ ①と②の交点 O が外心（外接円の中心）
④ O から A（または B、C）までの距離を半径とする円をかく → 外接円
60°、30°、45° の角の作図
分度器を使わなくても、コンパスで特別な角を作図できます。
・正三角形をつくる → 1つの内角が 60°
・60°を二等分する → 30°
・直角を二等分する → 45°
📘 例題②
60° の角をコンパスで作図する手順を答えなさい。
解答：
① 半直線 OA を引く
② O を中心に適当な半径の円弧をかき、OA との交点を P とする
③ 同じ半径で P を中心に円弧をかき、②の弧との交点を Q とする
④ 半直線 OQ をひく → ∠AOQ = 60°（三角形 OPQ が正三角形だから）
60° の角をコンパスで作図する手順を答えなさい。
解答：
① 半直線 OA を引く
② O を中心に適当な半径の円弧をかき、OA との交点を P とする
③ 同じ半径で P を中心に円弧をかき、②の弧との交点を Q とする
④ 半直線 OQ をひく → ∠AOQ = 60°（三角形 OPQ が正三角形だから）
応用：2点 A、B から等距離で、ある直線 ℓ 上にある点
「A と B から等距離」→ 線分 AB の垂直二等分線 上にある。
「直線 ℓ 上にある」→ ℓ 上にある。
両方を満たすのは AB の垂直二等分線と ℓ の交点。
💡 ポイント
- 外心＝3辺の垂直二等分線の交点（3頂点から等距離・外接円の中心）
- 内心＝3角の二等分線の交点（3辺から等距離・内接円の中心）
- 60°：正三角形（半径＝1辺の円2つ）／30°：60°を二等分／45°：直角を二等分
- 「等距離」とくれば垂直二等分線か角の二等分線を疑う
練習問題
- 三角形 ABC の内接円の中心はどのように作図しますか。
- 30° の角をコンパスと定規だけで作図する手順を述べなさい。
- 2点 A、B と直線 ℓ がある。ℓ 上にあり、A と B から等しい距離にある点 P を作図する手順を答えなさい。
解答・解説
- 解答：3角の二等分線をかいて、その交点が内心
解説：3つの角の二等分線は1点（内心）で交わる。 - 解答：60°を作図し、それを角の二等分線で2等分する
解説：60°（正三角形）の半分が 30°。 - 解答：線分 AB の垂直二等分線を作図し、それと直線 ℓ との交点が P
解説：AB の垂直二等分線上の点はすべて A,B から等距離。