多項式の展開④ 和と差の積
もう1つよく出る公式が「和と差の積」です。展開すると真ん中が消えて、シンプルな形になります。
公式④：(x + a)(x − a) = x² − a²
同じ x と a の和と差をかけると、真ん中の項が打ち消し合って x² − a²（差の2乗）になります。
- (x + 6)(x − 6) = x² − 6² = x² − 36
- (3x + 2)(3x − 2) = (3x)² − 2² = 9x² − 4
- (5a + 4b)(5a − 4b) = (5a)² − (4b)² = 25a² − 16b²
📘 例題①
次を展開しなさい。
(1) (x + 10)(x − 10) (2) (2a − 7)(2a + 7)
解答：
(1) x² − 10² = x² − 100
(2) (2a)² − 7² = 4a² − 49 （順序が逆でも同じ）
次を展開しなさい。
(1) (x + 10)(x − 10) (2) (2a − 7)(2a + 7)
解答：
(1) x² − 10² = x² − 100
(2) (2a)² − 7² = 4a² − 49 （順序が逆でも同じ）
公式を使った数値計算の工夫
(x+a)(x−a) = x²−a² を使うと、暗算が楽になります。
例：103 × 97 = (100+3)(100−3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991
📘 例題②
公式を使って 52 × 48 を計算しなさい。
解答：52 × 48 = (50+2)(50−2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496
公式を使って 52 × 48 を計算しなさい。
解答：52 × 48 = (50+2)(50−2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496
💡 ポイント
- (x+a)(x−a) = x² − a²（差の2乗）
- 順序は逆でもよい（(x−a)(x+a) も同じ）
- 係数や文字を含む場合も丸ごと2乗
- 暗算の工夫：(a+b)(a−b) = a²−b² を使うと早い
練習問題
- (x + 9)(x − 9) を展開しなさい。
- (4y − 3)(4y + 3) を展開しなさい。
- 公式を使って 98 × 102 を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：x² − 81
解説：x² − 9² = x² − 81。 - 解答：16y² − 9
解説：(4y)² − 3² = 16y² − 9。 - 解答：9996
解説：(100−2)(100+2) = 100² − 4 = 10000 − 4 = 9996。