多項式の展開⑤ いろいろな展開と式の値
これまでに学んだ公式を組み合わせて、より複雑な式の展開や、展開を利用した式の値の計算に挑戦しましょう。
2つ以上の公式を使う展開
同じ式の中に複数の積が出てきたら、それぞれ展開してから同類項をまとめます。
例：(x + 3)² − (x + 1)(x − 4)
= (x² + 6x + 9) − (x² − 3x − 4)
= x² + 6x + 9 − x² + 3x + 4 = 9x + 13
📘 例題①
(2x − 1)(2x + 1) − (x − 3)² を展開しなさい。
解答：(4x² − 1) − (x² − 6x + 9) = 4x² − 1 − x² + 6x − 9 = 3x² + 6x − 10
(2x − 1)(2x + 1) − (x − 3)² を展開しなさい。
解答：(4x² − 1) − (x² − 6x + 9) = 4x² − 1 − x² + 6x − 9 = 3x² + 6x − 10
共通部分を文字で置きかえる
例：(a + b + 3)(a + b − 3) は、a + b = A と置くと (A + 3)(A − 3) = A² − 9 = (a + b)² − 9 = a² + 2ab + b² − 9。
📘 例題②
(x + y − 4)² を展開しなさい。
解答：x + y = A と置くと (A − 4)² = A² − 8A + 16 = (x+y)² − 8(x+y) + 16 = x² + 2xy + y² − 8x − 8y + 16
(x + y − 4)² を展開しなさい。
解答：x + y = A と置くと (A − 4)² = A² − 8A + 16 = (x+y)² − 8(x+y) + 16 = x² + 2xy + y² − 8x − 8y + 16
式の値の計算
x = 5+√3、y = 5−√3 のように、式が複雑な値のときは、まず展開や因数分解で式を変形してから代入すると楽です。
例：x = 6+√2、y = 6−√2 のとき、xy = (6+√2)(6−√2) = 36 − 2 = 34、x+y = 12。
x² + y² = (x+y)² − 2xy = 144 − 68 = 76。
💡 ポイント
- 複数の項があるときは、各部分を展開してから同類項をまとめる
- 共通部分があれば 1 文字に置きかえると公式が使える
- x² + y² = (x+y)² − 2xy、(x−y)² = (x+y)² − 4xy などの変形を覚える
- 展開後の検算：x に簡単な値を入れて両辺が一致するか確認できる
練習問題
- (x + 5)² − (x + 2)(x − 2) を展開しなさい。
- (a + b + 1)(a + b − 1) を展開しなさい。
- x = 3+√5、y = 3−√5 のとき、x² + y² の値を求めなさい。
解答・解説
- 解答：10x + 29
解説：(x²+10x+25) − (x²−4) = 10x + 29。 - 解答：a² + 2ab + b² − 1
解説：a+b=A と置くと (A+1)(A−1) = A² − 1 = (a+b)² − 1。 - 解答：28
解説：x+y=6、xy=9−5=4。x²+y² = (x+y)² − 2xy = 36 − 8 = 28。