平方根の応用① 式の値（代入）
根号をふくむ数を文字に代入して式の値を求める方法を学びます。
式の値の求め方
代入する前に式を因数分解や変形で簡単にしてから代入するのが効率的です。
📘 例題①
x = √3 + 1 のとき、x² − 2x + 1 の値を求めなさい。
解答：x² − 2x + 1 = (x − 1)² = (√3 + 1 − 1)² = (√3)² = 3
x = √3 + 1 のとき、x² − 2x + 1 の値を求めなさい。
解答：x² − 2x + 1 = (x − 1)² = (√3 + 1 − 1)² = (√3)² = 3
📘 例題②
a = √5 + 2, b = √5 − 2 のとき、a + b, ab の値を求めなさい。
解答：a + b = 2√5、ab = (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1
a = √5 + 2, b = √5 − 2 のとき、a + b, ab の値を求めなさい。
解答：a + b = 2√5、ab = (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1
💡 ポイント
- まず式を因数分解・変形してから代入すると計算が楽になる
- 和と積のセットで与えられることが多い
- 乗法公式を逆に使って代入を工夫する
練習問題
- x = √2 + 3 のとき、x² − 6x + 9 の値を求めなさい。
- a = √3 + 1, b = √3 − 1 のとき、a² + b² の値を求めなさい。
解答・解説
- 解答：x² − 6x + 9 = (x − 3)² = (√2)² = 2
- 解答：a² + b² = (a+b)² − 2ab = (2√3)² − 2×(3−1) = 12 − 4 = 8