因数分解④ おきかえと複2次式
複雑な式も、おきかえによって基本公式に帰着できます。
共通部分のおきかえ
📘 例題①
(x + y)² − 5(x + y) + 6 を因数分解しなさい。
解答：x + y = X とおくと X² − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3)。
X を戻して (x + y − 2)(x + y − 3)
(x + y)² − 5(x + y) + 6 を因数分解しなさい。
解答：x + y = X とおくと X² − 5X + 6 = (X − 2)(X − 3)。
X を戻して (x + y − 2)(x + y − 3)
複2次式（x⁴ 型）
x⁴ + ax² + b は x² = X とおいて2次の因数分解にします。
📘 例題②
x⁴ − 13x² + 36 を因数分解しなさい。
解答：X = x²：X² − 13X + 36 = (X − 4)(X − 9) = (x² − 4)(x² − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)
x⁴ − 13x² + 36 を因数分解しなさい。
解答：X = x²：X² − 13X + 36 = (X − 4)(X − 9) = (x² − 4)(x² − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)
💡 ポイント
- 共通部分は1つの文字に置き換える
- 複2次式は x² = X とおく
- 因数分解は「もうこれ以上分解できない」まで続ける
練習問題
- (x − 1)² − 4(x − 1) + 3 を因数分解しなさい。
- x⁴ − 5x² + 4 を因数分解しなさい。
- x⁴ − 10x² + 9 を因数分解しなさい。
解答・解説
- 解答：(x − 2)(x − 4)
解説：X = x−1 とおいて X²−4X+3 = (X−1)(X−3) = (x−2)(x−4)。 - 解答：(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)
解説：(x²−1)(x²−4) → さらに差の平方。 - 解答：(x+1)(x−1)(x+3)(x−3)
解説：(x²−1)(x²−9)。