不等式④ 絶対値を含む方程式
絶対値 |x| を含む方程式は、絶対値の中身の符号で場合分けして解きます。
基本パターン
|x| = a（a > 0）の解は x = ±a。
|x| = 0 の解は x = 0。
|x| = −3 のように右辺が負なら、解なし。
📘 例題①
|2x − 1| = 5 を解きなさい。
解答：2x − 1 = 5 または 2x − 1 = −5。
前者：2x = 6 → x = 3
後者：2x = −4 → x = −2
よって x = 3, −2
|2x − 1| = 5 を解きなさい。
解答：2x − 1 = 5 または 2x − 1 = −5。
前者：2x = 6 → x = 3
後者：2x = −4 → x = −2
よって x = 3, −2
場合分けによる解法
|A| = B のとき A の符号で場合分け。
A ≧ 0 のとき A = B
A < 0 のとき −A = B
📘 例題②
|x − 3| = 2x を解きなさい。
解答：右辺が 2x ≧ 0 でないと等号不成立なので x ≧ 0。
(i) x ≧ 3 のとき：x − 3 = 2x → x = −3。x ≧ 3 を満たさない、不適。
(ii) x < 3 のとき：−(x − 3) = 2x → 3 − x = 2x → x = 1。x < 3 を満たす ✓。
よって x = 1
|x − 3| = 2x を解きなさい。
解答：右辺が 2x ≧ 0 でないと等号不成立なので x ≧ 0。
(i) x ≧ 3 のとき：x − 3 = 2x → x = −3。x ≧ 3 を満たさない、不適。
(ii) x < 3 のとき：−(x − 3) = 2x → 3 − x = 2x → x = 1。x < 3 を満たす ✓。
よって x = 1
💡 ポイント
- |x| = a（a > 0）の解は x = ±a
- |A| = B（B が変数）は場合分けして解く
- 場合分け後の条件を満たすか必ず確認
練習問題
- |3x + 2| = 7 を解きなさい。
- |x − 4| = 6 を解きなさい。
- |2x + 1| = x + 4 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：x = 5/3, −3
解説：3x+2 = ±7。3x = 5 または 3x = −9。 - 解答：x = 10, −2
解説：x − 4 = ±6。 - 解答：x = 3, −5/3
解説：右辺 ≧ 0 で x ≧ −4。(i) 2x+1 ≧ 0 すなわち x ≧ −1/2 のとき 2x+1 = x+4 → x = 3 ✓。(ii) x < −1/2 のとき −(2x+1) = x+4 → −2x−1 = x+4 → −3x = 5 → x = −5/3 ✓。