不等式⑤ 絶対値を含む不等式
絶対値 |x| を含む不等式は、原点からの距離で考えると分かりやすくなります。
基本パターン
a > 0 のとき
・|x| < a ⇔ −a < x < a
・|x| > a ⇔ x < −a または x > a
・|x| ≦ a ⇔ −a ≦ x ≦ a
・|x| ≧ a ⇔ x ≦ −a または x ≧ a
📘 例題①
|x − 2| < 3 を解きなさい。
解答：−3 < x − 2 < 3。各辺に 2 をたして −1 < x < 5
|x − 2| < 3 を解きなさい。
解答：−3 < x − 2 < 3。各辺に 2 をたして −1 < x < 5
📘 例題②
|2x + 1| ≧ 5 を解きなさい。
解答：2x + 1 ≦ −5 または 2x + 1 ≧ 5。
前者：2x ≦ −6 → x ≦ −3
後者：2x ≧ 4 → x ≧ 2
よって x ≦ −3 または x ≧ 2
|2x + 1| ≧ 5 を解きなさい。
解答：2x + 1 ≦ −5 または 2x + 1 ≧ 5。
前者：2x ≦ −6 → x ≦ −3
後者：2x ≧ 4 → x ≧ 2
よって x ≦ −3 または x ≧ 2
💡 ポイント
- |x| < a → −a < x < a（はさみ）
- |x| > a → x < −a または x > a（外側）
- 原点からの距離で図示するとイメージしやすい
練習問題
- |x| ≦ 4 を解きなさい。
- |3x − 2| < 7 を解きなさい。
- |x + 5| > 3 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：−4 ≦ x ≦ 4
解説：|x| ≦ a の形。 - 解答：−5/3 < x < 3
解説：−7 < 3x − 2 < 7 → −5 < 3x < 9 → −5/3 < x < 3。 - 解答：x < −8 または x > −2
解説：x + 5 < −3 または x + 5 > 3。