二次不等式② 応用・文字定数
二次不等式が「すべての実数で成立」「解なし」になる条件や、文字定数を含む問題を扱います。
📘 例題①
x² + 2kx + k + 2 > 0 がすべての実数 x で成り立つ k の範囲を求めなさい。
解答：a = 1 > 0 なので D < 0 が条件。D = 4k² - 4(k+2) < 0 → k² - k - 2 < 0 → (k+1)(k-2) < 0 → -1 < k < 2
x² + 2kx + k + 2 > 0 がすべての実数 x で成り立つ k の範囲を求めなさい。
解答：a = 1 > 0 なので D < 0 が条件。D = 4k² - 4(k+2) < 0 → k² - k - 2 < 0 → (k+1)(k-2) < 0 → -1 < k < 2
💡 ポイント
- 「すべての x で正」: a > 0 かつ D < 0
- 「すべての x で負」: a < 0 かつ D < 0
練習問題
- 2x² - 3x + k > 0 がすべての実数 x で成り立つ k の範囲を求めなさい。
解答・解説
- 解答：k > 9/8。D = 9 - 8k < 0 → k > 9/8。