無限等比級数
無限に項が続く等比級数 a + ar + ar² + … は、
|r| < 1 のとき収束し、和は S = a/(1 − r)
|r| ≧ 1 のとき発散（a = 0 を除く）
📘 例題① 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … の和。
解答：|r|=1/2 < 1 なので収束。
S = 1/(1−1/2) = 2
解答：|r|=1/2 < 1 なので収束。
S = 1/(1−1/2) = 2
📘 例題② 循環小数 0.333… を分数で。
解答：0.3 + 0.03 + 0.003 + … = 0.3/(1−0.1) = 0.3/0.9 = 1/3
解答：0.3 + 0.03 + 0.003 + … = 0.3/(1−0.1) = 0.3/0.9 = 1/3
💡 ポイント
- |r| < 1 は絶対条件
- 循環小数の有理数化に応用できる
練習問題
- 2 + 2/3 + 2/9 + … の和。
解答・解説
- 解答：3
2/(1−1/3)=2·3/2=3。