部分分数分解と和（差分の和）
1/{k(k+1)} = 1/k − 1/(k+1) のように連続項の差に分解すると、項が次々と打ち消し合います（テレスコープ和）。
📘 例題① Σ_{k=1}^{n} 1/{k(k+1)} を求めよ。
解答：各項 = 1/k − 1/(k+1)。
和 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)
解答：各項 = 1/k − 1/(k+1)。
和 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)
💡 ポイント
- 分母が連続2項の積 → 差に分解
- 1/{k(k+1)(k+2)} 型などにも応用
練習問題
- Σ_{k=1}^{n} 1/{(2k−1)(2k+1)}
解答・解説
- 解答：n/(2n+1)
1/{(2k−1)(2k+1)} = (1/2){1/(2k−1) − 1/(2k+1)}。