数学的帰納法とは
すべての自然数 n について命題 P(n) が成り立つことを示す手法：
- n=1 のとき P(1) が成り立つ（基礎）
- P(k) が成り立つと仮定して P(k+1) が成り立つことを示す（帰納）
この2つを示せば、すべての n について P(n) が成り立つ。
📘 例題① 1+2+…+n = n(n+1)/2 をすべての自然数 n で示せ。
解答：n=1：左辺=1、右辺=1·2/2=1。OK。
n=k で成立と仮定：1+2+…+k = k(k+1)/2。
n=k+1：左辺 = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。右辺と一致。
ゆえに任意の n で成立。
解答：n=1：左辺=1、右辺=1·2/2=1。OK。
n=k で成立と仮定：1+2+…+k = k(k+1)/2。
n=k+1：左辺 = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。右辺と一致。
ゆえに任意の n で成立。
💡 ポイント
- 「基礎」と「帰納」の2段階構成
- 仮定の使い方が要
練習問題
- 1+3+…+(2n−1)=n² を帰納法で示せ。
解答・解説
- 解答：n=1：1=1。n=k仮定：1+…+(2k−1)=k²。n=k+1：左辺=k²+(2k+1)=(k+1)²。