不等式の帰納法
不等式 P(n) でも同じ手順。仮定の不等式を使って次のステップに繋ぐ。
📘 例題① 2ⁿ ≧ n+1（n≧1）を示せ。
解答：n=1：2≧2 OK。
n=k仮定：2ᵏ ≧ k+1。n=k+1：2ᵏ⁺¹ = 2·2ᵏ ≧ 2(k+1) = 2k+2 ≧ k+2。
ゆえに 2ⁿ ≧ n+1。
解答：n=1：2≧2 OK。
n=k仮定：2ᵏ ≧ k+1。n=k+1：2ᵏ⁺¹ = 2·2ᵏ ≧ 2(k+1) = 2k+2 ≧ k+2。
ゆえに 2ⁿ ≧ n+1。
💡 ポイント
- 不等式の場合、仮定を使って強くする向きを意識
練習問題
- n≧4 で 2ⁿ > n² を示すアウトラインを述べよ。
解答・解説
- 解答：n=4：16>16 → 偽。実は n=5 で 32>25 から始める。n=k で 2ᵏ>k²、n=k+1：2ᵏ⁺¹=2·2ᵏ>2k²。k≧3 で 2k²≧(k+1)² なので成立。