平面ベクトル④ 1次独立と分解
平面上の任意のベクトルは、平行でない 2 つのベクトルの組み合わせで表せます。
1次独立
2 つのベクトル →a, →b が →a ≠ →0、→b ≠ →0、→a と →b は平行でない のとき、→a と →b は 1次独立 という。
1次独立ベクトルによる分解
→a, →b が 1次独立のとき、平面上の任意のベクトル →p は
→p = s→a + t→b（s, t は実数） と一意に表せる。
さらに 係数比較：s→a + t→b = s'→a + t'→b ⇒ s=s'、t=t'。
📘 例題①
→a=(2, 1)、→b=(1, −3) のとき、→p=(5, −4) を →p = s→a + t→b で表しなさい。
解答：(2s+t, s−3t)=(5, −4)。連立 2s+t=5、s−3t=−4。
第1式 t=5−2s を代入：s−3(5−2s)=−4 → 7s=11 → s=11/7、t=13/7。よって s=11/7、t=13/7。
→a=(2, 1)、→b=(1, −3) のとき、→p=(5, −4) を →p = s→a + t→b で表しなさい。
解答：(2s+t, s−3t)=(5, −4)。連立 2s+t=5、s−3t=−4。
第1式 t=5−2s を代入：s−3(5−2s)=−4 → 7s=11 → s=11/7、t=13/7。よって s=11/7、t=13/7。
図形問題での利用
三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b と置き、内分点や中点を →a, →b で表せます。
AB の中点 M：→OM = (→a + →b)/2
AB を m:n に内分する点 P：→OP = (n→a + m→b)/(m+n)
📘 例題②
三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b。辺 AB を 2:1 に内分する点 P について →OP を表しなさい。
解答：→OP = (1→a + 2→b)/3 = (1/3)→a + (2/3)→b
三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b。辺 AB を 2:1 に内分する点 P について →OP を表しなさい。
解答：→OP = (1→a + 2→b)/3 = (1/3)→a + (2/3)→b
💡 ポイント
- 1次独立：0 でなく、平行でない 2 ベクトル
- 任意ベクトルは →p = s→a + t→b に一意に分解
- 係数比較で連立方程式が立てられる
- 内分点公式：m:n に内分 →OP=(n→a+m→b)/(m+n)
練習問題
- →a=(1, 2)、→b=(3, −1) のとき、→p=(5, 0) を s→a + t→b で表しなさい。
- 三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b、AB の中点を M とする。→OM を表しなさい。
- →a, →b は1次独立。s→a + t→b = 3→a − 2→b のとき s, t を求めなさい。
解答・解説
- 解答：s=5/7、t=10/7
解説：s+3t=5、2s−t=0。t=2s 代入で 7s=5 → s=5/7、t=10/7。 - 解答：→OM=(→a+→b)/2
解説：中点ベクトル公式。 - 解答：s=3、t=−2
解説：1次独立なら係数比較。