平面ベクトル⑤ 総合演習
これまでの内容（和・差・実数倍・成分・平行条件・分解）を組み合わせた問題に挑戦します。
成分計算の総合
📘 例題①
→a=(2, −1)、→b=(1, 3) のとき、|→a + →b| と、→a − 2→b に平行な単位ベクトルを求めなさい。
解答：→a+→b=(3, 2)、大きさ √13。
→a−2→b=(0, −7)、大きさ 7。単位ベクトル (0, ±1)（±2 通り）。
→a=(2, −1)、→b=(1, 3) のとき、|→a + →b| と、→a − 2→b に平行な単位ベクトルを求めなさい。
解答：→a+→b=(3, 2)、大きさ √13。
→a−2→b=(0, −7)、大きさ 7。単位ベクトル (0, ±1)（±2 通り）。
平行条件の応用
📘 例題②
→a=(1, 2)、→b=(3, −1)。→a + t→b が →a − →b と平行になる t を求めなさい。
解答：→a+t→b=(1+3t, 2−t)、→a−→b=(−2, 3)。
平行条件 (1+3t)×3 − (2−t)×(−2)=0 → 7t+7=0 → t=−1。
→a=(1, 2)、→b=(3, −1)。→a + t→b が →a − →b と平行になる t を求めなさい。
解答：→a+t→b=(1+3t, 2−t)、→a−→b=(−2, 3)。
平行条件 (1+3t)×3 − (2−t)×(−2)=0 → 7t+7=0 → t=−1。
3点が一直線上にある条件
3 点 A, B, C が一直線上 ⇔ →AC = k→AB となる実数 k がある。
📘 例題③
3 点 A(1, 2)、B(3, 5)、C(7, k) が一直線上にある k を求めなさい。
解答：→AB=(2, 3)、→AC=(6, k−2)。平行条件 2(k−2)−3×6=0 → 2k=22 → k=11。
3 点 A(1, 2)、B(3, 5)、C(7, k) が一直線上にある k を求めなさい。
解答：→AB=(2, 3)、→AC=(6, k−2)。平行条件 2(k−2)−3×6=0 → 2k=22 → k=11。
💡 ポイント
- 成分計算は各成分ごとに、大きさは √(x²+y²)
- 平行条件：成分のたすき掛けの差が 0
- 3 点一直線：→AB ∥ →AC
- 平行な単位ベクトル：±→a/|→a|
練習問題
- →a=(−1, 4)、→b=(3, 2) のとき、|2→a − →b| を求めなさい。
- →a=(4, k)、→b=(−2, 3) が平行のとき k を求めなさい。
- 3 点 A(2, 1)、B(5, 7)、C(k, 11) が一直線上にあるとき k を求めなさい。
解答・解説
- 解答：√61
解説：2→a−→b=(−5, 6)、大きさ √(25+36)=√61。 - 解答：k=−6
解説：4×3 − k×(−2)=0 → 12+2k=0 → k=−6。 - 解答：k=7
解説：→AB=(3, 6)、→AC=(k−2, 10)。3×10−6(k−2)=0 → 42=6k → k=7。