内積① 定義と図形的意味
ベクトルの「掛け算」の中で、結果が スカラー（実数） になる積を 内積（スカラー積） といいます。
内積の定義
0 でない 2 つのベクトル →a, →b のなす角を θ（0° ≦ θ ≦ 180°）とすると、
→a・→b = |→a||→b|cos θ
図形的意味
- θ=0°（同じ向き）→ →a・→b = |→a||→b|
- θ=90°（垂直）→ →a・→b = 0
- θ=180°（反対向き）→ →a・→b = −|→a||→b|
- 鋭角 → 内積は正、鈍角 → 内積は負
📘 例題①
|→a|=3、|→b|=4、なす角 60° のとき →a・→b を求めなさい。
解答：3×4×cos60° = 12×(1/2) = 6
|→a|=3、|→b|=4、なす角 60° のとき →a・→b を求めなさい。
解答：3×4×cos60° = 12×(1/2) = 6
内積の性質
- →a・→a = |→a|²
- →a・→b = →b・→a（交換法則）
- (k→a)・→b = k(→a・→b)
- →a・(→b + →c) = →a・→b + →a・→c（分配法則）
📘 例題②
|→a|=2、|→b|=√3、→a・→b=−3 のとき、(→a + →b)・(2→a − →b) を求めなさい。
解答：2|→a|² + →a・→b − |→b|² = 8 + (−3) − 3 = 2
|→a|=2、|→b|=√3、→a・→b=−3 のとき、(→a + →b)・(2→a − →b) を求めなさい。
解答：2|→a|² + →a・→b − |→b|² = 8 + (−3) − 3 = 2
💡 ポイント
- 内積の結果はスカラー（実数）
- →a・→b = |→a||→b|cos θ、→a・→a = |→a|²
- 分配法則・スカラー倍が成立 → 多項式と同じ展開可能
練習問題
- |→a|=4、|→b|=3、なす角 120° のとき →a・→b を求めなさい。
- |→a|=5 のとき →a・→a を求めなさい。
- |→a|=2、|→b|=3、→a・→b=4 のとき |→a + →b|² を求めなさい。
解答・解説
- 解答：−6
解説：4×3×cos120° = 12×(−1/2) = −6。 - 解答：25
解説：→a・→a = |→a|² = 25。 - 解答：21
解説：|→a+→b|²=4+8+9=21。