内積② 成分による計算
成分が分かっているベクトルの内積は、簡単な式で計算できます。
成分での内積
→a=(a₁, a₂)、→b=(b₁, b₂) のとき、→a・→b = a₁b₁ + a₂b₂。
📘 例題①
→a=(2, −3)、→b=(4, 1) のとき →a・→b を求めなさい。
解答：2×4 + (−3)×1 = 8 − 3 = 5
→a=(2, −3)、→b=(4, 1) のとき →a・→b を求めなさい。
解答：2×4 + (−3)×1 = 8 − 3 = 5
なす角の cos
cos θ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (|→a| × |→b|)
📘 例題②
→a=(1, √3)、→b=(√3, 1) のなす角を求めなさい。
解答：→a・→b = 2√3、|→a|=|→b|=2。cos θ = √3/2 → θ=30°
→a=(1, √3)、→b=(√3, 1) のなす角を求めなさい。
解答：→a・→b = 2√3、|→a|=|→b|=2。cos θ = √3/2 → θ=30°
💡 ポイント
- 成分の内積：対応成分の積の和
- 大きさ √(x²+y²) と組み合わせて cos θ が求まる
練習問題
- →a=(3, 4)、→b=(−1, 2) のとき →a・→b を求めなさい。
- →a=(1, 2)、→b=(3, −1) のなす角 θ について cos θ を求めなさい。
- →a=(2, 4)、→b=(3, 1) について cos θ を求めなさい。
解答・解説
- 解答：5
解説：3×(−1)+4×2=5。 - 解答：cos θ = √2/10
解説：内積1、|→a|=√5、|→b|=√10、cos θ=1/√50=√2/10。 - 解答：cos θ=√2/2
解説：内積10、|→a|=2√5、|→b|=√10。10/(2√50)=10/(10√2)=√2/2。