内積③ 垂直条件
内積を使うと、2 つのベクトルが垂直かどうかが簡単に判定できます。
垂直条件
→a ≠ →0、→b ≠ →0 のとき、→a ⊥ →b ⇔ →a・→b = 0。
成分では a₁b₁ + a₂b₂ = 0。
📘 例題①
→a=(2, 3)、→b=(k, 4) が垂直となる k を求めなさい。
解答：2k + 12 = 0 → k=−6
→a=(2, 3)、→b=(k, 4) が垂直となる k を求めなさい。
解答：2k + 12 = 0 → k=−6
垂直な単位ベクトル
→a=(a₁, a₂) に垂直なベクトル：(−a₂, a₁) または (a₂, −a₁)。単位ベクトルは ±(−a₂, a₁)/|→a|。
📘 例題②
→a=(3, 4) に垂直な単位ベクトルを求めなさい。
解答：|→a|=5。垂直 (−4, 3) または (4, −3)。単位ベクトル ±(−4/5, 3/5)。
→a=(3, 4) に垂直な単位ベクトルを求めなさい。
解答：|→a|=5。垂直 (−4, 3) または (4, −3)。単位ベクトル ±(−4/5, 3/5)。
💡 ポイント
- 垂直条件：→a・→b = 0
- (a₁, a₂) に垂直：(−a₂, a₁) または (a₂, −a₁)
- 垂直な単位ベクトルは 2 通り
練習問題
- →a=(4, −1)、→b=(2, k) が垂直となる k を求めなさい。
- →a=(−5, 12) に垂直な単位ベクトルを求めなさい。
- |→a|=2、|→b|=3、→a⊥→b のとき (→a + 2→b)・(3→a − →b) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：k=8
解説：8 − k = 0 → k=8。 - 解答：±(12/13, 5/13)
解説：|→a|=13、垂直は(12, 5) または (−12, −5)。 - 解答：−6
解説：3|→a|²+5→a・→b−2|→b|²=12+0−18=−6。