内積④ 図形への応用
内積を使って、三角形の面積や図形の性質を計算します。
三角形の面積
→OA=→a、→OB=→b のとき、
S = (1/2)√(|→a|²|→b|² − (→a・→b)²)
成分なら S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁|。
📘 例題①
O(0,0)、A(3, 1)、B(2, 4) の三角形の面積を求めなさい。
解答：S=(1/2)|3×4−1×2|=5
O(0,0)、A(3, 1)、B(2, 4) の三角形の面積を求めなさい。
解答：S=(1/2)|3×4−1×2|=5
図形の証明への活用
📘 例題②
|→a|=|→b| のとき、(→a + →b) ⊥ (→a − →b) を示しなさい。
解答：(→a+→b)・(→a−→b)=|→a|²−|→b|²=0。よって垂直（ひし形の対角線の性質）。
|→a|=|→b| のとき、(→a + →b) ⊥ (→a − →b) を示しなさい。
解答：(→a+→b)・(→a−→b)=|→a|²−|→b|²=0。よって垂直（ひし形の対角線の性質）。
💡 ポイント
- 三角形の面積：(1/2)|a₁b₂ − a₂b₁|
- |→a±→b|² = |→a|² ± 2→a・→b + |→b|²
- (→a+→b)・(→a−→b) = |→a|² − |→b|²
練習問題
- O(0,0)、A(2, 3)、B(5, 1) の三角形の面積を求めなさい。
- |→a|=3、|→b|=2、→a・→b=4 のとき |→a − →b| を求めなさい。
- |→a|=4、|→b|=4、なす角 60° のとき (→a+→b)・(→a−→b) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：13/2
解説：(1/2)|2−15|=13/2。 - 解答：√5
解説：9−8+4=5。 - 解答：0
解説：|→a|=|→b| なので |→a|²−|→b|²=0。