位置ベクトル③ 外分点
線分の延長上にある「外分点」も、内分と同じ枠組みで位置ベクトル化できます。
外分点の公式
2 点 A(→a)、B(→b) について、線分 AB を m:n に外分する点 Q の位置ベクトル →q は
→q = (−n→a + m→b) / (m − n)
内分公式の n を −n に置き換えた形です。
外分の意味
- m＞n のとき：B の外側（B より遠く）に Q がある
- m＜n のとき：A の外側（A より手前）に Q がある
- m=n のとき：分母 0 で外分は定義できない
📘 例題①
A(1, 2)、B(4, 5) のとき、線分 AB を 3:1 に外分する点 Q を求めなさい。
解答：Q = (−1×→a + 3×→b)/(3−1) = ((−1+12)/2, (−2+15)/2) = (11/2, 13/2)
よって Q(11/2, 13/2)
A(1, 2)、B(4, 5) のとき、線分 AB を 3:1 に外分する点 Q を求めなさい。
解答：Q = (−1×→a + 3×→b)/(3−1) = ((−1+12)/2, (−2+15)/2) = (11/2, 13/2)
よって Q(11/2, 13/2)
外分の図形的解釈
「AB を m:n に外分」とは、AQ:QB = m:(−n)（QB に逆向きの重みをつける）と解釈できます。点 Q から見て、A は内分点とは反対側に B がある状況です。
📘 例題②
A(2, 1)、B(5, 7) のとき、線分 AB を 1:3 に外分する点 R を求めなさい。
解答：R = (−3×→a + 1×→b)/(1−3) = ((−6+5)/(−2), (−3+7)/(−2)) = (1/2, −2)
よって R(1/2, −2)
A(2, 1)、B(5, 7) のとき、線分 AB を 1:3 に外分する点 R を求めなさい。
解答：R = (−3×→a + 1×→b)/(1−3) = ((−6+5)/(−2), (−3+7)/(−2)) = (1/2, −2)
よって R(1/2, −2)
💡 ポイント
- 外分点：(−n→a + m→b)/(m−n)
- 内分公式の n を −n に置き換えた形
- m=n のときは外分は定義不可（線分の延長上の無限遠）
練習問題
- A(0, 0)、B(6, 3) のとき、AB を 4:1 に外分する点 Q を求めなさい。
- A(−1, 2)、B(3, 4) のとき、AB を 1:2 に外分する点 R を求めなさい。
- 三角形 OAB で →OA=→a、→OB=→b。辺 AB を 3:1 に外分する点 →OP を表しなさい。
解答・解説
- 解答：(8, 4)
解説：(−1×0+4×6)/(4−1)=24/3=8、(−1×0+4×3)/3=4。 - 解答：(−5, 0)
解説：(−2×(−1)+1×3)/(1−2)=5/(−1)=−5、(−2×2+1×4)/(−1)=0。 - 解答：→OP=(−→a+3→b)/2
解説：3:1 に外分 → (−1×→a+3×→b)/(3−1)。