位置ベクトル④ 三角形の重心と図形の性質
位置ベクトルを使って、三角形の重心の性質や、いくつかの図形性質を確認します。
重心の性質
三角形 ABC の重心 G は、3 つの中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）の交点で、各中線を 2:1 に内分 します。
→AG : →GM = 2 : 1（M は BC の中点）
📘 例題①
A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 6) の重心 G を求めなさい。また、AG:GM（M は BC の中点）を確かめなさい。
解答：G=(2, 2)。M=((6+0)/2, (0+6)/2)=(3, 3)。
→AG=(2, 2)、→GM=(1, 1)。よって →AG=2→GM、AG:GM=2:1。
A(0, 0)、B(6, 0)、C(0, 6) の重心 G を求めなさい。また、AG:GM（M は BC の中点）を確かめなさい。
解答：G=(2, 2)。M=((6+0)/2, (0+6)/2)=(3, 3)。
→AG=(2, 2)、→GM=(1, 1)。よって →AG=2→GM、AG:GM=2:1。
位置ベクトルで図形を扱う
4 点 A, B, C, D が平行四辺形 ⇔ →AB = →DC（または →a + →c = →b + →d）。
📘 例題②
A(1, 2)、B(4, 3)、C(6, 7) について、ABCD が平行四辺形となる D を求めなさい。
解答：→AB = →DC → →OD = →OC − →AB = (6−3, 7−1) = D(3, 6)
A(1, 2)、B(4, 3)、C(6, 7) について、ABCD が平行四辺形となる D を求めなさい。
解答：→AB = →DC → →OD = →OC − →AB = (6−3, 7−1) = D(3, 6)
💡 ポイント
- 重心は中線を 2:1 に内分（頂点側が 2、中点側が 1）
- 重心の位置ベクトル：(→a + →b + →c)/3
- 平行四辺形 ABCD ⇔ →AB = →DC
練習問題
- A(2, 1)、B(5, 7)、C(−1, 4) の重心を求めなさい。
- A(0, 0)、B(4, 1)、C(5, 5) について、ABCD が平行四辺形となる D を求めなさい。
- 三角形 ABC の重心 G について、→AG + →BG + →CG を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：(2, 4)
解説：(2+5−1)/3=2、(1+7+4)/3=4。 - 解答：D(1, 4)
解説：→AB=(4,1)、→DC=→AB → →OD=→OC−→AB=(5−4, 5−1)=(1, 4)。 - 解答：→0
解説：→AG=(→a+→b+→c)/3−→a。同様に整理すると 3 つの和は →0。