微分法② 基本公式 (x^n)′ と定数倍・和差
毎回定義から計算するのは大変なので、公式を使います。
基本公式：
- (x^n)′ = n·x^{n−1}（n は実数でも成立）
- (c)′ = 0（定数の微分は 0）
- {c·f(x)}′ = c·f'(x)
- {f(x) ± g(x)}′ = f'(x) ± g'(x)
📘 例題① 次を微分せよ。
(1) y = x³ − 2x² + 5x − 7 (2) y = √x (3) y = 1/x²
解答：
(1) y' = 3x² − 4x + 5
(2) y = x^{1/2} → y' = (1/2)·x^{−1/2} = 1/(2√x)
(3) y = x^{−2} → y' = −2·x^{−3} = −2/x³
(1) y = x³ − 2x² + 5x − 7 (2) y = √x (3) y = 1/x²
解答：
(1) y' = 3x² − 4x + 5
(2) y = x^{1/2} → y' = (1/2)·x^{−1/2} = 1/(2√x)
(3) y = x^{−2} → y' = −2·x^{−3} = −2/x³
💡 ポイント
- (x^n)′ = nx^{n−1} は n が分数や負でも成立
- √x、1/x^k は指数表記に直すと公式が使える
練習問題
- y = 2x⁴ − 3x² + x の y' を求めよ。
- y = 3√x + 1/x の y' を求めよ。
解答・解説
- 解答：8x³ − 6x + 1
- 解答：3/(2√x) − 1/x²
3x^{1/2} + x^{−1} を微分。