微分法③ 積・商の微分公式
2つの関数の積・商の微分は、和や差のように単純ではありません。
積の微分：{f·g}′ = f'·g + f·g'
商の微分：(f/g)′ = (f'·g − f·g')/g²
📘 例題①（積） y = (x²+1)(x−3) の y' を求めよ。
解答：y' = 2x·(x−3) + (x²+1)·1 = 2x²−6x + x²+1 = 3x²−6x+1
解答：y' = 2x·(x−3) + (x²+1)·1 = 2x²−6x + x²+1 = 3x²−6x+1
📘 例題②（商） y = x/(x²+1) の y' を求めよ。
解答：y' = (1·(x²+1) − x·2x)/(x²+1)² = (1−x²)/(x²+1)²
解答：y' = (1·(x²+1) − x·2x)/(x²+1)² = (1−x²)/(x²+1)²
💡 ポイント
- 積：「前・後'+前'・後」と覚える
- 商：分母は g²、分子は f'·g − f·g'（順番注意）
練習問題
- y = (3x−1)(x²+2) の y'
- y = (2x+1)/(x−3) の y'
解答・解説
- 解答：9x² − 2x + 6
3(x²+2) + (3x−1)·2x = 3x²+6 + 6x²−2x。 - 解答：−7/(x−3)²
(2(x−3) − (2x+1))/(x−3)² = −7/(x−3)²。