不定積分の定義と基本公式
F'(x) = f(x) を満たす F(x) を f(x) の原始関数といい、
∫ f(x) dx = F(x) + C （C は積分定数）と書きます。これが不定積分です。
基本公式：
- ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C （n ≠ −1）
- ∫ 1/x dx = log|x| + C
- ∫ e^x dx = e^x + C
- ∫ sin x dx = −cos x + C、∫ cos x dx = sin x + C
- ∫ 1/cos²x dx = tan x + C
📘 例題① 次を計算せよ。
(1) ∫ (3x²−4x+1) dx (2) ∫ √x dx (3) ∫ (2/x + e^x) dx
解答：
(1) x³ − 2x² + x + C
(2) ∫ x^{1/2} dx = (2/3)x^{3/2} + C = (2/3)x√x + C
(3) 2 log|x| + e^x + C
(1) ∫ (3x²−4x+1) dx (2) ∫ √x dx (3) ∫ (2/x + e^x) dx
解答：
(1) x³ − 2x² + x + C
(2) ∫ x^{1/2} dx = (2/3)x^{3/2} + C = (2/3)x√x + C
(3) 2 log|x| + e^x + C
💡 ポイント
- 積分は微分の逆操作
- 必ず +C（積分定数）を書く
- x^n の n = −1 のときは log|x|
練習問題
- ∫ (4x³ − 6x + 2) dx
- ∫ (3sin x − 2cos x) dx
解答・解説
- 解答：x⁴ − 3x² + 2x + C
- 解答：−3cos x − 2sin x + C