置換積分① 基本形
置換積分：u = g(x) とおいて du = g'(x)dx で変数変換する方法。
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du
📘 例題① ∫ (2x+1)⁵ dx
解答：u = 2x+1、du = 2dx → dx = du/2。
∫ u⁵·(du/2) = u⁶/12 + C = (2x+1)⁶/12 + C
解答：u = 2x+1、du = 2dx → dx = du/2。
∫ u⁵·(du/2) = u⁶/12 + C = (2x+1)⁶/12 + C
📘 例題② ∫ x·√(x²+1) dx
解答：u = x²+1、du = 2x dx → x dx = du/2。
∫ √u·(du/2) = (1/3)u^{3/2} + C = (x²+1)√(x²+1)/3 + C
解答：u = x²+1、du = 2x dx → x dx = du/2。
∫ √u·(du/2) = (1/3)u^{3/2} + C = (x²+1)√(x²+1)/3 + C
💡 ポイント
- 「中身を u に置く」のが基本
- du の形が出るように選ぶ
練習問題
- ∫ cos(3x) dx
- ∫ x·e^{x²} dx
解答・解説
- 解答：(1/3)sin(3x) + C
- 解答：(1/2)e^{x²} + C