面積① 1曲線とx軸で囲まれる面積
曲線 y = f(x) と x軸、x = a、x = b で囲まれる図形の面積 S は
S = ∫_a^b |f(x)| dx
f(x) ≧ 0 なら符号をつけずにそのまま、f(x) ≦ 0 なら符号を反転、符号が変わるなら区間を分けて計算します。
📘 例題① y = x² と x軸、x = 0、x = 2 で囲まれた面積。
解答：区間で f ≧ 0 なので S = ∫_0^2 x² dx = [x³/3]_0^2 = 8/3
解答：区間で f ≧ 0 なので S = ∫_0^2 x² dx = [x³/3]_0^2 = 8/3
📘 例題② y = sin x、x軸、x=0、x=2π で囲まれた面積。
解答：[0, π] では sin x ≧ 0、[π, 2π] では sin x ≦ 0。
S = ∫_0^π sin x dx + ∫_π^{2π} (−sin x) dx = 2 + 2 = 4
解答：[0, π] では sin x ≧ 0、[π, 2π] では sin x ≦ 0。
S = ∫_0^π sin x dx + ∫_π^{2π} (−sin x) dx = 2 + 2 = 4
💡 ポイント
- 面積 = ∫ |f| dx：符号に注意
- 必ずグラフを描いて符号変化点で区間分割
練習問題
- y = x² − 1、x軸、x=0、x=2 で囲まれた面積
解答・解説
- 解答：2
[0,1]で負、[1,2]で正。∫_0^1(1−x²)dx + ∫_1^2(x²−1)dx = 2/3 + 4/3 = 2。