置換積分・部分積分（定積分版）
定積分では、変数を置換すると積分区間も置換する必要があります。
📘 例題①（置換） ∫_0^1 x·e^{x²} dx
解答：u = x²、du = 2x dx → x dx = du/2。区間：x=0→u=0、x=1→u=1。
= ∫_0^1 (1/2)e^u du = (1/2)[e^u]_0^1 = (e−1)/2
解答：u = x²、du = 2x dx → x dx = du/2。区間：x=0→u=0、x=1→u=1。
= ∫_0^1 (1/2)e^u du = (1/2)[e^u]_0^1 = (e−1)/2
📘 例題②（部分積分） ∫_0^1 x·e^x dx
解答：[x·e^x]_0^1 − ∫_0^1 e^x dx = e − (e−1) = 1
解答：[x·e^x]_0^1 − ∫_0^1 e^x dx = e − (e−1) = 1
💡 ポイント
- 置換したら積分区間も忘れずに変換
- 部分積分は [f·g]_a^b − ∫_a^b f'·g dx
練習問題
- ∫_0^{π/2} sin x · cos x dx
解答・解説
- 解答：1/2
u=sin x、du=cos x dx。∫_0^1 u du = 1/2。