場合の数④ 整数と最短経路
📘 例題①（整数の個数）
1,2,3,4,5のカードから3枚で3桁の偶数を作る。
一の位：2か4（2通り）× 残り4枚から2枚の順列 4P2=12 → 2×12 = 24個
1,2,3,4,5のカードから3枚で3桁の偶数を作る。
一の位：2か4（2通り）× 残り4枚から2枚の順列 4P2=12 → 2×12 = 24個
📘 例題②（最短経路）
縦3・横4のマス目の左下から右上への最短経路：右4回・上3回の7回移動
7!/(4!×3!) = 35通り
縦3・横4のマス目の左下から右上への最短経路：右4回・上3回の7回移動
7!/(4!×3!) = 35通り
💡 ポイント
- 整数の個数 → 位ごとに分けて積の法則
- 最短経路 → 右・上の移動を同じものを含む順列で数える
練習問題
- 0〜9から重複なしで4桁の整数。5000以上は何個か。
- 縦2・横5のマス目で最短経路は何通りか。
- 1,2,3,4,5,6から3枚で3の倍数は何個か。
解答
- 千の位5〜9(5通り)×9×8×7=2520個
- 7!/(5!×2!)=21通り
- 各桁の和が3の倍数になる組合せを数える。{1,2,3},{1,3,5},{2,3,4},{1,5,6},{2,4,6},{3,4,5},{4,5,6},{1,2,6},{2,3,7}... → 8組×3!=48個（0を除く確認要）→ 40個