確率④ 確率変数と期待値・分散
期待値：E(X) = Σ xi×P(X=xi)
分散：V(X) = E(X²) − {E(X)}²
標準偏差：σ = √V(X)
📘 例題①
サイコロ1回の目の期待値：E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2
サイコロ1回の目の期待値：E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2
📘 例題②
X が 1,2,3 を各 1/3 の確率でとるとき：E(X)=2、E(X²)=14/3
V(X) = 14/3 − 4 = 2/3
X が 1,2,3 を各 1/3 の確率でとるとき：E(X)=2、E(X²)=14/3
V(X) = 14/3 − 4 = 2/3
💡 ポイント
- E(aX+b) = aE(X)+b
- V(aX+b) = a²V(X)
練習問題
- X が −1,0,1 を 1/4, 1/2, 1/4 でとるとき E(X)、V(X) を求めよ。
- E(X)=3、V(X)=4 のとき Y=2X−1 の期待値と分散は？
- 2枚のコインを投げて表の枚数 X の期待値を求めよ。
解答
- E(X)=0、V(X)=1/2
- E(Y)=5、V(Y)=16
- P(0)=1/4,P(1)=1/2,P(2)=1/4 → E(X)=1