円に内接する三角形・方べきの定理
円周角と中心角
同一の弧に対する円周角は中心角の 1/2。同一弧に対する円周角はすべて等しい。
円に内接する四角形
対角の和が 180°（∠A+∠C=∠B+∠D=180°）
📘 例題①（円周角）
円に内接する△ABC で弧 BC に対する中心角が 80° のとき、∠BAC を求めよ。
解答：∠BAC = 80°/2 = 40°
円に内接する△ABC で弧 BC に対する中心角が 80° のとき、∠BAC を求めよ。
解答：∠BAC = 80°/2 = 40°
方べきの定理
パターン①（円の内部の交点）：円の2つの弦 PQ と RS が点 T で交わるとき
TP × TQ = TR × TS
パターン②（円の外部の点）：円の外の点 T から引いた2本の直線が円と点 P、Q および R、S で交わるとき
TP × TQ = TR × TS
パターン③（接線と割線）：円の外の点 T から引いた接線の接点を P、割線が円と Q、R で交わるとき
TP² = TQ × TR
📘 例題②（方べきの定理・内部交点）
円内の点 T で2弦 AB、CD が交わる。TA=3、TB=4、TC=2 のとき TD を求めよ。
TA×TB=TC×TD → 3×4=2×TD → TD=6
解答：TD = 6
円内の点 T で2弦 AB、CD が交わる。TA=3、TB=4、TC=2 のとき TD を求めよ。
TA×TB=TC×TD → 3×4=2×TD → TD=6
解答：TD = 6
📘 例題③（接線と割線）
円の外の点 T から接線を引き接点を P とする。T から引いた割線が円と Q、R（TQ＜TR）で交わり TQ=3、TR=12 のとき TP を求めよ。
TP²=TQ×TR=3×12=36 → TP=6
解答：TP = 6
円の外の点 T から接線を引き接点を P とする。T から引いた割線が円と Q、R（TQ＜TR）で交わり TQ=3、TR=12 のとき TP を求めよ。
TP²=TQ×TR=3×12=36 → TP=6
解答：TP = 6
💡 ポイント
- 内部交点：TP×TQ=TR×TS（2弦の交点）
- 外部点：TP×TQ=TR×TS（2割線）
- 接線：TP²=TQ×TR（接線と割線）
- 円に内接する四角形：対角の和=180°を逆用して「4点が同一円上」の証明に使う
練習問題
- 円内の点 T で弦 AB と弦 CD が交わる。TA=5、TB=4、TC=10 のとき TD を求めよ。
- 円の外の点 T から2つの割線を引く。一方は TQ=2、TR=8、他方は TS=4 のとき TU を求めよ（U は遠い方の交点）。
- 円に内接する四角形 ABCD で ∠A=70° のとき ∠C を求めよ。
解答・解説
- 5×4=10×TD → TD=2
- TQ×TR=TS×TU → 2×8=4×TU → TU=4
- ∠A+∠C=180° → ∠C=180°−70°=110°