図形の性質①まとめ
💡 三角形の図形定理まとめ
- 重心：中線の交点、AG:GM=2:1
- 外心：垂直二等分線の交点、外接円の中心 R
- 内心：内角の二等分線の交点、内接円半径 r=S/s
- 垂心：高さの交点
- チェバ：BD/DC×CE/EA×AF/FB=1 ⟺ 3線が1点で交わる
- メネラウス：BD/DC×CE/EA×AF/FB=1 ⟺ 3点が1直線上
- 円周角=中心角/2、内接四角形の対角の和=180°
- 方べき：TP×TQ=TR×TS（交点・外点）、TP²=TQ×TR（接線）
総合練習問題
- 3辺が 6, 8, 10 の直角三角形について (a) 内接円の半径、(b) 外接円の半径を求めよ。
- △ABC で BD:DC=2:3、CE:EA=1:4。直線 AD、BE の交点を P とし、CP の延長が AB と F で交わるとき AF:FB を求めよ（チェバの定理を使え）。
- 円の外の点 T から接線を引き接点を P とする（TP=6）。T から割線を引き円と Q、R（TQ＜TR）で交わる。TQ=3 のとき TR を求めよ。
解答・解説
- (a) S=(1/2)×6×8=24、s=(6+8+10)/2=12 → r=24/12=2
(b) 直角三角形の外接円半径=斜辺/2=10/2=5 - チェバより (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
(2/3)×(1/4)×(AF/FB)=1 → AF/FB=6 → AF:FB=6:1 - TP²=TQ×TR → 36=3×TR → TR=12