正多面体とオイラーの定理
多面体の基本用語
頂点の数 V、辺の数 E、面の数 F
オイラーの多面体定理
V − E + F = 2（凸多面体に成立）
📘 例題①（立方体での確認）
立方体：V=8、E=12、F=6
V−E+F = 8−12+6 = 2 ✓
立方体：V=8、E=12、F=6
V−E+F = 8−12+6 = 2 ✓
正多面体（プラトンの立体）
| 名称 | 面の形 | 面数 F | 頂点 V | 辺 E |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 4 | 6 |
| 正六面体（立方体） | 正方形 | 6 | 8 | 12 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 6 | 12 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 20 | 30 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 12 | 30 |
📘 例題②（オイラーの定理の応用）
すべての面が正三角形で、各頂点に5枚の面が集まる多面体の V、E、F を求めよ。
各面に3辺 → 3F = 2E（各辺は2面で共有）→ E = 3F/2
各頂点に5面 → 5V = 2E（各辺は2頂点）→ V = 2E/5
オイラー：V−E+F=2 → (2E/5)−E+(2E/3)=2 → E(2/5−1+2/3)=2 → E(6/15−15/15+10/15)=2 → E×1/15=2 → E=30。V=12、F=20
解答：正二十面体
すべての面が正三角形で、各頂点に5枚の面が集まる多面体の V、E、F を求めよ。
各面に3辺 → 3F = 2E（各辺は2面で共有）→ E = 3F/2
各頂点に5面 → 5V = 2E（各辺は2頂点）→ V = 2E/5
オイラー：V−E+F=2 → (2E/5)−E+(2E/3)=2 → E(2/5−1+2/3)=2 → E(6/15−15/15+10/15)=2 → E×1/15=2 → E=30。V=12、F=20
解答：正二十面体
💡 ポイント
- V−E+F=2（凸多面体のオイラーの公式）
- 正多面体は5種類のみ（証明：面の角の和の不等式から）
- 正四面体と正八面体は双対（頂点と面が入れ替わる）
- 正六面体と正十二面体も双対
練習問題
- 正八面体の V、E、F を答え、オイラーの定理を確認せよ。
- すべての面が五角形で各頂点に3面が集まる多面体の辺の数を求めよ。
- 六角形の面6枚と五角形の面2枚からなる多面体（鉛筆の形）の V、E を求めよ。
解答・解説
- 正八面体 V=6、E=12、F=8。6−12+8=2 ✓
- 3F=2E（各辺2面）かつ 3V=2E（各頂点3辺）。オイラー：(2E/3)−E+(2E/3)=2→E(4/3−1)=2→E×1/3=2→E=30（正十二面体）
- 6角柱型：V=12（上下各6頂点）、E=18（上6+下6+側面6）、F=8（上1+下1+六角6）。確認:12−18+8=2 ✓