球・柱・錐の性質
角柱・円柱
体積 = 底面積 × 高さ
円柱：体積 = πr²h、側面積 = 2πrh、表面積 = 2πr²+2πrh
角錐・円錐
体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ
円錐：体積 = (1/3)πr²h、母線 l = √(r²+h²)、側面積 = πrl
球
体積 = (4/3)πr³、表面積 = 4πr²
📘 例題①（円錐と球）
底面の半径 3、高さ 4 の円錐について：
母線 l = √(9+16) = 5
体積 = (1/3)π×9×4 = 12π
側面積 = π×3×5 = 15π
底面の半径 3、高さ 4 の円錐について：
母線 l = √(9+16) = 5
体積 = (1/3)π×9×4 = 12π
側面積 = π×3×5 = 15π
📘 例題②（球に内接する円柱）
半径 R の球に内接する円柱の高さを h、底面の半径を r とするとき r² + (h/2)² = R²
R=3 で h=4 のとき r² = 9 − 4 = 5 → r = √5
体積 = π×5×4 = 20π
半径 R の球に内接する円柱の高さを h、底面の半径を r とするとき r² + (h/2)² = R²
R=3 で h=4 のとき r² = 9 − 4 = 5 → r = √5
体積 = π×5×4 = 20π
📘 例題③（球に外接する立方体）
球の半径が r のとき、球に外接する立方体の1辺は 2r。
立方体に内接する球の半径は（1辺を a とすると）r = a/2。
球の半径が r のとき、球に外接する立方体の1辺は 2r。
立方体に内接する球の半径は（1辺を a とすると）r = a/2。
💡 ポイント
- 錐体の体積は柱体の 1/3
- 球の体積 (4/3)πr³、表面積 4πr²
- 球と他の立体の内接・外接では三平方の定理を使う
練習問題
- 半径 6 の球の体積と表面積を求めよ。
- 底面の直径 8、高さ 6 の円錐の体積と母線の長さを求めよ。
- 1辺 6 の立方体に内接する球の体積を求めよ。
解答・解説
- 体積=(4/3)π×216=288π、表面積=4π×36=144π
- r=4、h=6。体積=(1/3)π×16×6=32π。母線=√(16+36)=√52=2√13
- 内接球の半径=3（立方体の辺の半分）。体積=(4/3)π×27=36π