加法定理
加法定理は三角関数で最も重要な公式群です。正確に覚え、使いこなしましょう。
加法定理（6公式）
- sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α−β) = sin α cos β − cos α sin β
- cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β
- cos(α−β) = cos α cos β + sin α sin β
- tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α tan β)
- tan(α−β) = (tan α − tan β)/(1 + tan α tan β)
📘 例題①
sin 75° を加法定理で求めなさい。
解答：75° = 45° + 30°
sin 75° = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4
sin 75° を加法定理で求めなさい。
解答：75° = 45° + 30°
sin 75° = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4
📘 例題②
sin α = 1/2、cos β = 1/3（α, β は鋭角）のとき cos(α+β) を求めなさい。
解答：cos α = √3/2、sin β = 2√2/3。
cos(α+β) = (√3/2)(1/3) − (1/2)(2√2/3) = √3/6 − √2/3 = (√3 − 2√2)/6
sin α = 1/2、cos β = 1/3（α, β は鋭角）のとき cos(α+β) を求めなさい。
解答：cos α = √3/2、sin β = 2√2/3。
cos(α+β) = (√3/2)(1/3) − (1/2)(2√2/3) = √3/6 − √2/3 = (√3 − 2√2)/6
💡 ポイント
- sin：たすき掛けで「sin cos ± cos sin」
- cos：同文字のかけ算で「cos cos ∓ sin sin」（加算のときマイナス）
- tan：分子は和・差、分母は「1 ∓ 積」
練習問題
- cos 15° を加法定理で求めなさい（45° − 30°）。
- tan 105° を求めなさい（60° + 45°）。
- sin α = 3/5、cos β = 5/13（α, β は鋭角）のとき sin(α+β) を求めなさい。
解答・解説
- 解答：(√6+√2)/4
解説：cos15° = cos45°cos30° + sin45°sin30° = (√6+√2)/4。 - 解答：−2−√3
解説：tan(60°+45°) = (√3+1)/(1−√3)。分母分子に (1+√3) をかけて (4+2√3)/(−2) = −2−√3。 - 解答：56/65
解説：cos α = 4/5、sin β = 12/13。sin(α+β) = (3/5)(5/13)+(4/5)(12/13) = 15/65+48/65 = 63/65。