倍角公式
加法定理で α = β とおくと倍角公式が得られます。
倍角公式
- sin 2α = 2 sin α cos α
- cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
- tan 2α = 2 tan α/(1 − tan²α)
📘 例題①
sin θ = 3/5（鋭角）のとき sin 2θ と cos 2θ を求めなさい。
解答：cos θ = 4/5。
sin 2θ = 2(3/5)(4/5) = 24/25
cos 2θ = (4/5)² − (3/5)² = 16/25 − 9/25 = 7/25
sin θ = 3/5（鋭角）のとき sin 2θ と cos 2θ を求めなさい。
解答：cos θ = 4/5。
sin 2θ = 2(3/5)(4/5) = 24/25
cos 2θ = (4/5)² − (3/5)² = 16/25 − 9/25 = 7/25
📘 例題②
sin 3θ を sin θ の多項式で表しなさい。
解答：sin 3θ = sin(2θ+θ) = sin2θcosθ + cos2θsinθ
= 2sinθcos²θ + (1−2sin²θ)sinθ = 3sinθ − 4sin³θ
sin 3θ を sin θ の多項式で表しなさい。
解答：sin 3θ = sin(2θ+θ) = sin2θcosθ + cos2θsinθ
= 2sinθcos²θ + (1−2sin²θ)sinθ = 3sinθ − 4sin³θ
💡 ポイント
- cos 2α の3形式を使い分ける（どちらかの二乗だけにするとき）
- sin 2α = 2sinαcosα は積分でも頻出
練習問題
- cos θ = −1/3（π/2 ≤ θ ≤ π）のとき sin 2θ と cos 2θ を求めなさい。
- tan θ = 3 のとき tan 2θ を求めなさい。
- cos 3θ を cos θ の多項式で表しなさい。
解答・解説
- 解答：sin θ = 2√2/3、sin 2θ = −4√2/9、cos 2θ = −7/9
解説：第2象限で sin > 0。sin 2θ = 2(2√2/3)(−1/3)。cos 2θ = 1/9−8/9。 - 解答：−3/4
解説：tan 2θ = 2×3/(1−9) = 6/(−8) = −3/4。 - 解答：4cos³θ − 3cosθ
解説：cos3θ = cos(2θ+θ) = cos2θcosθ−sin2θsinθ = (2cos²θ−1)cosθ−2sinθcosθ·sinθ = 4cos³θ−3cosθ。