半角公式と積和・和積
cos の倍角公式を変形すると半角公式、加法定理を組み合わせると積和・和積公式が得られます。
半角公式
- sin²(α/2) = (1 − cos α)/2
- cos²(α/2) = (1 + cos α)/2
- tan²(α/2) = (1 − cos α)/(1 + cos α)
📘 例題①
cos(π/8) を半角公式で求めなさい。
解答：cos²(π/8) = (1+cos(π/4))/2 = (1+√2/2)/2 = (2+√2)/4。
π/8 は鋭角より cos(π/8) = √(2+√2)/2
cos(π/8) を半角公式で求めなさい。
解答：cos²(π/8) = (1+cos(π/4))/2 = (1+√2/2)/2 = (2+√2)/4。
π/8 は鋭角より cos(π/8) = √(2+√2)/2
積和公式（主要なもの）
- sin α cos β = [sin(α+β)+sin(α−β)]/2
- cos α cos β = [cos(α+β)+cos(α−β)]/2
- sin α sin β = −[cos(α+β)−cos(α−β)]/2
和積公式（主要なもの）
- sin A + sin B = 2sin((A+B)/2)cos((A−B)/2)
- cos A + cos B = 2cos((A+B)/2)cos((A−B)/2)
📘 例題②
sin 75° + sin 15° を和積公式で計算しなさい。
解答：2sin(45°)cos(30°) = 2 × (√2/2) × (√3/2) = √6/2
sin 75° + sin 15° を和積公式で計算しなさい。
解答：2sin(45°)cos(30°) = 2 × (√2/2) × (√3/2) = √6/2
💡 ポイント
- 半角公式は符号注意：象限で ± を決定
- 積和・和積は加法定理から導ける（丸暗記より理解優先）
練習問題
- sin(π/12) を半角公式で求めなさい。
- cos 3θ cos θ を積和公式で変換しなさい。
- sin 70° − sin 20° を和積公式で計算しなさい。
解答・解説
- 解答：√(2−√3)/2
解説：sin²(π/12) = (1−cos(π/6))/2 = (1−√3/2)/2 = (2−√3)/4。正の平方根。 - 解答：(cos 4θ + cos 2θ)/2
解説：cos α cos β = [cos(α+β)+cos(α−β)]/2。α=3θ, β=θ。 - 解答：2cos45°sin25° = √2 sin25°
解説：sin A−sin B = 2cos((A+B)/2)sin((A−B)/2)。A=70°, B=20°。