三角方程式②（変換・置換型）
2次形式や混在型は、相互関係・倍角公式で1種類に統一してから解きます。
📘 例題①
0 ≤ θ < 2π で 2sin²θ − cosθ − 1 = 0 を解きなさい。
解答：sin²θ = 1 − cos²θ を代入：
2(1−cos²θ) − cosθ − 1 = 0 → 2cos²θ + cosθ − 1 = 0
(2cosθ−1)(cosθ+1) = 0 → cosθ = 1/2 または cosθ = −1
θ = π/3, π, 5π/3
0 ≤ θ < 2π で 2sin²θ − cosθ − 1 = 0 を解きなさい。
解答：sin²θ = 1 − cos²θ を代入：
2(1−cos²θ) − cosθ − 1 = 0 → 2cos²θ + cosθ − 1 = 0
(2cosθ−1)(cosθ+1) = 0 → cosθ = 1/2 または cosθ = −1
θ = π/3, π, 5π/3
📘 例題②
0 ≤ θ < 2π で sin2θ = sinθ を解きなさい。
解答：2sinθcosθ − sinθ = 0 → sinθ(2cosθ−1) = 0
sinθ = 0 → θ = 0, π cosθ = 1/2 → θ = π/3, 5π/3
θ = 0, π/3, π, 5π/3
0 ≤ θ < 2π で sin2θ = sinθ を解きなさい。
解答：2sinθcosθ − sinθ = 0 → sinθ(2cosθ−1) = 0
sinθ = 0 → θ = 0, π cosθ = 1/2 → θ = π/3, 5π/3
θ = 0, π/3, π, 5π/3
💡 ポイント
- sin と cos が混在 → sin²+cos²=1 で統一
- sin2θ が含まれる → 倍角公式で展開
- 右辺を0にして積の形に整理
練習問題
- 0 ≤ θ < 2π で 2cos²θ + 3sinθ − 3 = 0 を解きなさい。
- 0 ≤ θ < 2π で sin2θ + cosθ = 0 を解きなさい。
- 0 ≤ θ < 2π で cos2θ − 3cosθ + 2 = 0 を解きなさい。
解答・解説
- 解答：θ = π/6, π/2, 5π/6
解説：cos²θ = 1−sin²θ → 2sin²θ−3sinθ+1 = 0 → (2sinθ−1)(sinθ−1) = 0。sinθ=1/2 → π/6,5π/6。sinθ=1 → π/2。 - 解答：θ = π/2, 2π/3, 3π/2, 4π/3
解説：2sinθcosθ+cosθ = 0 → cosθ(2sinθ+1) = 0。cosθ=0 → π/2,3π/2。sinθ=−1/2 → 7π/6,11π/6。 - 解答：θ = 0, π/3, 5π/3
解説：cos2θ=2cos²θ−1 → 2cos²θ−3cosθ+1=0 → (2cosθ−1)(cosθ−1)=0。cosθ=1/2→π/3,5π/3。cosθ=1→0。