接線の方程式
y = f(x) の x = a における接線の方程式は y − f(a) = f'(a)(x − a) です。
📘 例題①
y = x² の x = 3 における接線の方程式を求めなさい。
解答：f'(x) = 2x、f'(3) = 6、f(3) = 9。
y − 9 = 6(x − 3) → y = 6x − 9
y = x² の x = 3 における接線の方程式を求めなさい。
解答：f'(x) = 2x、f'(3) = 6、f(3) = 9。
y − 9 = 6(x − 3) → y = 6x − 9
📘 例題②
y = x³ − x に点 (2, 6) で接する直線の方程式を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x²−1、f'(2) = 11、f(2) = 6。
y − 6 = 11(x − 2) → y = 11x − 16
y = x³ − x に点 (2, 6) で接する直線の方程式を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x²−1、f'(2) = 11、f(2) = 6。
y − 6 = 11(x − 2) → y = 11x − 16
📘 例題③（外部の点から接線）
曲線 y = x² に点 (1, −1)（曲線上にない点）から引いた接線の方程式を求めなさい。
解答：接点を (a, a²) とおくと傾き = 2a。接線：y − a² = 2a(x − a) → y = 2ax − a²。
(1, −1) を通るので −1 = 2a − a² → a² − 2a − 1 = 0 → a = 1 ± √2。
接線：y = (2+2√2)x − (3+2√2) および y = (2−2√2)x − (3−2√2)
曲線 y = x² に点 (1, −1)（曲線上にない点）から引いた接線の方程式を求めなさい。
解答：接点を (a, a²) とおくと傾き = 2a。接線：y − a² = 2a(x − a) → y = 2ax − a²。
(1, −1) を通るので −1 = 2a − a² → a² − 2a − 1 = 0 → a = 1 ± √2。
接線：y = (2+2√2)x − (3+2√2) および y = (2−2√2)x − (3−2√2)
💡 ポイント
- 接線：y − f(a) = f'(a)(x − a)
- 外部の点からの接線：接点を文字でおいて通過条件を使う
練習問題
- y = x³ の x = −1 における接線の方程式を求めなさい。
- y = x² − 2x が傾き 4 の接線をもつ点の座標と接線の方程式を求めなさい。
- y = x² に点 (0, −1) から引いた接線の方程式を求めなさい。
解答・解説
- 解答：y = 3x + 2
解説：f'(x)=3x²、f'(−1)=3、f(−1)=−1。y+1=3(x+1)→y=3x+2。 - 解答：点 (3, 3)、接線 y = 4x − 9
解説：f'(x)=2x−2=4→x=3、f(3)=9−6=3。y−3=4(x−3)。 - 解答：y = 2x − 1 および y = −2x − 1
解説：接点(a,a²)。y=2ax−a²が(0,−1)を通る：−1=−a²→a=±1。