積の微分・商の微分
展開できない積や商の微分には専用の公式を使います。
積の微分
(f·g)' = f'g + fg'
商の微分
(f/g)' = (f'g − fg')/g²
📘 例題①
y = (x² + 1)(x³ − 2x) を積の公式で微分しなさい。
解答：f = x²+1、g = x³−2x。f' = 2x、g' = 3x²−2。
y' = 2x(x³−2x) + (x²+1)(3x²−2)
= 2x⁴−4x² + 3x⁴+x²−6 = 5x⁴−3x²−6
y = (x² + 1)(x³ − 2x) を積の公式で微分しなさい。
解答：f = x²+1、g = x³−2x。f' = 2x、g' = 3x²−2。
y' = 2x(x³−2x) + (x²+1)(3x²−2)
= 2x⁴−4x² + 3x⁴+x²−6 = 5x⁴−3x²−6
📘 例題②
y = x²/(x+1) を商の微分で微分しなさい。
解答：f = x²、g = x+1。f' = 2x、g' = 1。
y' = (2x(x+1) − x²) / (x+1)² = (x² + 2x)/(x+1)² = x(x+2)/(x+1)²
y = x²/(x+1) を商の微分で微分しなさい。
解答：f = x²、g = x+1。f' = 2x、g' = 1。
y' = (2x(x+1) − x²) / (x+1)² = (x² + 2x)/(x+1)² = x(x+2)/(x+1)²
💡 ポイント
- 積：f'g + fg'（「前の微分×後 + 前×後の微分」）
- 商：(f'g − fg')/g²（分母の微分でひく）
- 展開できる場合は展開した方が速いこともある
練習問題
- y = (x+1)(x²−x+1) を積の公式で微分しなさい。（展開して確認も）
- y = (x²+3)/(x−1) を微分しなさい。
- y = (2x−1)(x³+x) を微分しなさい。
解答・解説
- 解答：y' = (x²−x+1) + (x+1)(2x−1) = x²−x+1+2x²+x−1 = 3x²
解説：展開するとx³+1なのでy'=3x²で一致。 - 解答：(x²−2x−3)/(x−1)²
解説：(2x(x−1)−(x²+3))/(x−1)² = (2x²−2x−x²−3)/(x−1)²。 - 解答：2(x³+x)+(2x−1)(3x²+1) = 2x³+2x+6x³+2x−3x²−1 = 8x³−3x²+4x−1
解説：f'=2、g'=3x²+1。積の公式を適用。