合成関数の微分
「内側の関数」と「外側の関数」を区別して微分する連鎖律（chain rule）を学びます。
合成関数の微分（連鎖律）
y = f(g(x)) のとき：y' = f'(g(x)) × g'(x)
「外側を微分 × 内側を微分」と覚える。
📘 例題①
y = (x² + 3)⁵ を微分しなさい。
解答：u = x²+3 とおくと y = u⁵。
y' = 5u⁴ × 2x = 5(x²+3)⁴ × 2x = 10x(x²+3)⁴
y = (x² + 3)⁵ を微分しなさい。
解答：u = x²+3 とおくと y = u⁵。
y' = 5u⁴ × 2x = 5(x²+3)⁴ × 2x = 10x(x²+3)⁴
📘 例題②
y = (2x−1)³ を微分しなさい。
解答：外側 u³ の微分は 3u²、内側 2x−1 の微分は 2。
y' = 3(2x−1)² × 2 = 6(2x−1)²
y = (2x−1)³ を微分しなさい。
解答：外側 u³ の微分は 3u²、内側 2x−1 の微分は 2。
y' = 3(2x−1)² × 2 = 6(2x−1)²
📘 例題③
y = √(x²+1) を微分しなさい。（√u = u^(1/2)）
解答：y' = (1/2)(x²+1)^(−1/2) × 2x = x/√(x²+1)
y = √(x²+1) を微分しなさい。（√u = u^(1/2)）
解答：y' = (1/2)(x²+1)^(−1/2) × 2x = x/√(x²+1)
💡 ポイント
- 外側を微分（中身はそのまま）× 内側を微分
- 括弧や根号の中の式が「内側」
- 積・商・合成の複合問題はどのルールを使うか先に判断
練習問題
- y = (3x+2)⁴ を微分しなさい。
- y = (x²−2x+1)³ を微分しなさい。
- y = 1/(x²+1) を微分しなさい。（(u)⁻¹ の微分として）
解答・解説
- 解答：12(3x+2)³
解説：外側4u³×内側3 = 12(3x+2)³。 - 解答：3(x²−2x+1)²(2x−2) = 6(x−1)(x²−2x+1)² = 6(x−1)⁵
解説：x²−2x+1=(x−1)²なので全体は(x−1)⁶。その微分6(x−1)⁵と一致。 - 解答：−2x/(x²+1)²
解説：y=(x²+1)^(−1)。y'=−(x²+1)^(−2)×2x。