方程式への応用（実数解の個数）
y = f(x) のグラフと直線 y = k の交点数が方程式 f(x) = k の実数解の個数です。
📘 例題①
方程式 x³ − 3x = k の実数解の個数を k の値によって分類しなさい。
解答：f(x) = x³−3x。f'(x) = 3x²−3 = 3(x+1)(x−1)。
極大 f(−1) = 2、極小 f(1) = −2。
k > 2 または k < −2：解 1 個
k = 2 または k = −2：解 2 個
−2 < k < 2：解 3 個
方程式 x³ − 3x = k の実数解の個数を k の値によって分類しなさい。
解答：f(x) = x³−3x。f'(x) = 3x²−3 = 3(x+1)(x−1)。
極大 f(−1) = 2、極小 f(1) = −2。
k > 2 または k < −2：解 1 個
k = 2 または k = −2：解 2 個
−2 < k < 2：解 3 個
📘 例題②
a > 0 のとき f(x) = x³ − 3a²x + 2 の極値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x²−3a² = 3(x+a)(x−a)。
極大 f(−a) = 2a³+2、極小 f(a) = −2a³+2
a > 0 のとき f(x) = x³ − 3a²x + 2 の極値を求めなさい。
解答：f'(x) = 3x²−3a² = 3(x+a)(x−a)。
極大 f(−a) = 2a³+2、極小 f(a) = −2a³+2
💡 ポイント
- f(x) = k ⟺ y = f(x) と y = k の交点数
- 3次関数の極大・極小と k の位置関係で解の個数が決まる
- 極大値 > k > 極小値 のとき3個
練習問題
- x³ − 3x − a = 0 が3つの実数解をもつ a の範囲を求めなさい。
- f(x) = x³ + 3x² − 1 の極値を求め、方程式 x³ + 3x² − 1 = 0 の実数解の個数を求めなさい。
- f(x) = x³ − ax が x > 0 に極値をもつための a の条件を求めなさい。
解答・解説
- 解答：−2 < a < 2
解説：f(x)=x³−3xの極大2・極小−2と比較。f(x)=aが3解 ↔ −2 < a < 2。 - 解答：極大f(−2)=3、極小f(0)=−1。グラフと y=0の交点：−1<0<3 なので3個。
解説：f'=3x²+6x=3x(x+2)。x=−2で極大、x=0で極小。 - 解答：a > 0
解説：f'=3x²−a。x>0に極値 ↔ f'=0に正の解 ↔ a>0。