不定積分の定義と基本公式
微分の逆操作が積分です。不定積分には積分定数 C が必要です。
不定積分の定義
F'(x) = f(x) のとき ∫f(x)dx = F(x) + C（C は積分定数）
基本公式
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）
- ∫k dx = kx + C（k は定数）
- ∫(f+g) dx = ∫f dx + ∫g dx
- ∫kf dx = k∫f dx
📘 例題①
次を積分しなさい。(1) ∫(3x² − 2x + 1)dx (2) ∫(x+1)² dx
解答：
(1) x³ − x² + x + C
(2) (x+1)² = x²+2x+1 → x³/3 + x² + x + C
次を積分しなさい。(1) ∫(3x² − 2x + 1)dx (2) ∫(x+1)² dx
解答：
(1) x³ − x² + x + C
(2) (x+1)² = x²+2x+1 → x³/3 + x² + x + C
📘 例題②
f'(x) = 3x² − 2、f(0) = 4 のとき f(x) を求めなさい。
解答：f(x) = x³ − 2x + C。f(0) = C = 4 → f(x) = x³ − 2x + 4
f'(x) = 3x² − 2、f(0) = 4 のとき f(x) を求めなさい。
解答：f(x) = x³ − 2x + C。f(0) = C = 4 → f(x) = x³ − 2x + 4
💡 ポイント
- 積分は「逆微分」：微分して f(x) になるものを探す
- ∫xⁿ dx：指数に +1 して、+1 した数で割る
- 積分定数 C は必ず書く
練習問題
- 次を積分しなさい：(1) ∫(4x³ − 6x + 2)dx (2) ∫(x²−1)²dx
- f'(x) = 6x² − 4x、f(1) = 3 のとき f(x) を求めなさい。
- ∫(2x+1)(x−3)dx を計算しなさい。
解答・解説
- 解答：(1) x⁴−3x²+2x+C (2) x⁵/5−2x³/3+x+C
解説：(2) (x²−1)²=x⁴−2x²+1を展開して積分。 - 解答：f(x) = 2x³−2x²+3
解説：f(x)=2x³−2x²+C。f(1)=2−2+C=3→C=3。 - 解答：2x³/3 − 5x²/2 − 3x + C
解説：(2x+1)(x−3)=2x²−5x−3。∫(2x²−5x−3)dx。